الأستاذ هشام
التمرين 1: البرهان بالترجع (المتراجحات)
سهل
لتكن (un) المتتالية المعرفة بـ: u0 = 6 و un+1 = (1/3)un + 2.
بين بالترجع أن un > 3 لكل n ∈ ℕ.
2. نفترض أن: un > 3 لعدد n معين.
3. لنبين أن: un+1 > 3.
لدينا حسب الافتراض: un > 3
إذن: (1/3)un > (1/3) × 3 أي (1/3)un > 1
نضيف 2 للطرفين: (1/3)un + 2 > 1 + 2
أي un+1 > 3.
خلاصة: لكل n من ℕ، un > 3.
التمرين 2: المتتالية الحسابية (تحديد الأساس)
سهل
(un) متتالية حسابية حيث u5 = 17 و u10 = 32.
1. حدد أساس المتتالية r وحدها الأول u0.
2. أكتب un بدلالة n.
نعلم أن: un = up + (n-p)r
تطبيق: u10 = u5 + (10-5)r
32 = 17 + 5r ⇒ 15 = 5r ⇒ r = 3.
2. تحديد الحد الأول u0:
u5 = u0 + 5r ⇒ 17 = u0 + 5(3) ⇒ u0 = 17 - 15 = 2.
3. تعبير un:
un = u0 + nr = 2 + 3n.
التمرين 3: دراسة الرتابة
متوسط
لتكن vn = (n-1) / (n+1) لكل n ∈ ℕ.
أدرس رتابة المتتالية (vn).
vn+1 = ((n+1)-1) / ((n+1)+1) = n / (n+2)
vn+1 - vn = [n / (n+2)] - [(n-1) / (n+1)]
نوحد المقامات: [n(n+1) - (n-1)(n+2)] / [(n+2)(n+1)]
= [n² + n - (n² + n - 2)] / [(n+2)(n+1)] = 2 / [(n+2)(n+1)]
بما أن n ≥ 0، فإن الفرق دائماً موجب قطعا. إذن المتتالية (vn) تزايدية قطعا.
التمرين 4: المتتالية الهندسية (المجموع)
متوسط
لتكن (wn) متتالية هندسية أساسها q = 2 وحدها الأول w0 = 3.
أحسب المجموع: S = w0 + w1 + ... + w9.
- عدد الحدود: 9 - 0 + 1 = 10
- S = 3 × (1 - 210) / (1 - 2)
- S = 3 × (1 - 1024) / (-1) = 3 × (-1023) / (-1) = 3069.
التمرين 5: المتتالية المساعدة (النوع الأول)
صعب
نعتبر un+1 = 2un + 5 و u0 = 1.
نضع vn = un + 5.
1. بين أن (vn) هندسية.
2. استنتج un بدلالة n.
vn+1 = un+1 + 5 = (2un + 5) + 5 = 2un + 10 = 2(un + 5) = 2vn.
إذن (vn) هندسية أساسها q = 2 وحدها الأول v0 = u0 + 5 = 6.
2. تعبير un:
لدينا vn = v0 × qn = 6 × 2n.
وبما أن vn = un + 5 فإن un = vn - 5 = 6 × 2n - 5.
التمرين 6: البرهان بالترجع (القسمة)
متوسطبين بالترجع أن العدد 32n - 1 يقبل القسمة على 8 لكل n ∈ ℕ.
2. نفترض أن: 32n - 1 = 8k.
3. لنبين أن: 32(n+1) - 1 يقبل القسمة على 8.
32n+2 - 1 = 32n × 32 - 1 = 9 × 32n - 1
نعلم من الافتراض أن 32n = 8k + 1.
نعوض: 9(8k + 1) - 1 = 72k + 9 - 1 = 72k + 8 = 8(9k + 1).
وهو عدد يقبل القسمة على 8.
التمرين 7: المتتالية المكبورة
سهل
لتكن un = (3n + 1) / (n + 2).
بين أن المتتالية (un) مكبورة بالعدد 3.
un - 3 = [(3n + 1) / (n + 2)] - 3
= [3n + 1 - 3(n + 2)] / (n + 2)
= [3n + 1 - 3n - 6] / (n + 2) = -5 / (n + 2).
بما أن n ≥ 0 فإن n + 2 > 0، وبالتالي الفرق سالب دائماً.
إذن un < 3، فالمتتالية مكبورة بـ 3.
التمرين 8: المتتالية الحسابية (المجموع الجزئي)
متوسطأحسب المجموع التالي: S = 1 + 2 + 3 + ... + 200.
عدد الحدود هو 200.
القاعدة: S = n(n+1)/2
S = 200 × (200 + 1) / 2 = 100 × 201 = 20100.
التمرين 9: المتتالية المساعدة (حسابية)
صعب
نعتبر un+1 = un / (1 + un) و u0 = 1.
نضع vn = 1 / un.
1. بين أن (vn) حسابية.
2. حدد un بدلالة n.
vn+1 - vn = (1 / un+1) - (1 / un)
= [(1 + un) / un] - (1 / un) = (1 + un - 1) / un = un / un = 1.
إذن (vn) حسابية أساسها r = 1 وحدها الأول v0 = 1/u0 = 1.
2. تعبير un:
vn = v0 + nr = 1 + n.
بما أن vn = 1/un فإن un = 1 / (n + 1).
التمرين 10: تمرين تركيبي (امتحان)
صعب جداً
نعتبر المتتالية un+1 = (5un - 4) / (un + 1) و u0 = 3.
1. بين أن un > 2 لكل n.
2. نضع vn = 1 / (un - 2). بين أن vn حسابية أساسها 1/3.
- للتحقق: u0=3 > 2 (صحيح).
- الفرق: un+1 - 2 = (5un - 4 - 2un - 2) / (un + 1) = 3(un - 2) / (un + 1).
بما أن un > 2 فإن البسط والمقام موجبان، إذن un+1 > 2.
2. طبيعة vn:
vn+1 - vn = [1 / (un+1 - 2)] - [1 / (un - 2)]
نعوض un+1 - 2 بما وجدناه في السؤال 1:
vn+1 = (un + 1) / 3(un - 2)
vn+1 - vn = [(un + 1) / 3(un - 2)] - [3 / 3(un - 2)]
= (un + 1 - 3) / 3(un - 2) = (un - 2) / 3(un - 2) = 1/3.
إذن (vn) حسابية أساسها 1/3.
Commentaires
Publier un commentaire