الأكاديمية الجهوية للتميز
إعدادية: ....................
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان 2 (الترتيب والعمليات)
الدورة الأولى - نموذج المتميزين
NIVEAU AVANCÉالموسم: 2025/2026
مدة الإنجاز: 1 ساعة
الاسم: ....................
التمرين الأول: تقنيات المقارنة الذكية
5 ن
1) قارن العددين \( 3\sqrt{2} \) و \( 2\sqrt{5} \) مع التعليل:
Compare: \( 3\sqrt{2} \) and \( 2\sqrt{5} \)
كشف الحل (تقنية المربع)
نحسب مربع كل عدد:
\( (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \)
\( (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \)
بما أن \( 18 < 20 \)، فإن **\( 3\sqrt{2} < 2\sqrt{5} \)**.
\( (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \)
\( (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \)
بما أن \( 18 < 20 \)، فإن **\( 3\sqrt{2} < 2\sqrt{5} \)**.
2) نعتبر \( x > 3 \). قارن التعبيرين التاليين:
\( \frac{1}{x - 2} \) and \( \frac{1}{x - 1} \)
كشف الحل (تقنية المقلوب)
نعلم أن \( -2 < -1 \)، إذن \( x - 2 < x - 1 \).
بما أن العددين موجبين (لأن \( x > 3 \))، فإن المقلوب يغير الترتيب:
**\( \frac{1}{x - 2} > \frac{1}{x - 1} \)**.
بما أن العددين موجبين (لأن \( x > 3 \))، فإن المقلوب يغير الترتيب:
**\( \frac{1}{x - 2} > \frac{1}{x - 1} \)**.
التمرين الثاني: التأطير في الحالات الحرجة
8 ن
ليكن \( a \) و \( b \) عددين بحيث: \( -5 \le a \le -2 \) و \( 3 \le b \le 4 \).
أطّر (Encadrer) التعبيرات التالية بدقة:
\( a^2 \)
الحل (انتبه للسالب!)
بما أن \( a \) سالب، فإن المربع يغير الترتيب:
\( (-2)^2 \le a^2 \le (-5)^2 \)
إذن: **\( 4 \le a^2 \le 25 \)**.
\( (-2)^2 \le a^2 \le (-5)^2 \)
إذن: **\( 4 \le a^2 \le 25 \)**.
\( a \times b \)
الحل (الضرب في سالب)
نؤطر أولاً \( -a \): \( 2 \le -a \le 5 \).
نضرب \( -a \) في \( b \): \( 2 \times 3 \le -ab \le 5 \times 4 \implies 6 \le -ab \le 20 \).
نضرب في -1 لنحصل على \( ab \):
إذن: **\( -20 \le ab \le -6 \)**.
نضرب \( -a \) في \( b \): \( 2 \times 3 \le -ab \le 5 \times 4 \implies 6 \le -ab \le 20 \).
نضرب في -1 لنحصل على \( ab \):
إذن: **\( -20 \le ab \le -6 \)**.
\( \frac{b}{a} \)
الحل (تأطير الخارج)
\( \frac{b}{a} = b \times \frac{1}{a} \).
تأطير المقلوب: \( -\frac{1}{2} \le \frac{1}{a} \le -\frac{1}{5} \).
بما أن المقلوب سالب، نؤطر \( -\frac{1}{a} \): \( \frac{1}{5} \le -\frac{1}{a} \le \frac{1}{2} \).
نضرب في \( b \): \( \frac{3}{5} \le -\frac{b}{a} \le \frac{4}{2} \).
إذن: **\( -2 \le \frac{b}{a} \le -0.6 \)**.
تأطير المقلوب: \( -\frac{1}{2} \le \frac{1}{a} \le -\frac{1}{5} \).
بما أن المقلوب سالب، نؤطر \( -\frac{1}{a} \): \( \frac{1}{5} \le -\frac{1}{a} \le \frac{1}{2} \).
نضرب في \( b \): \( \frac{3}{5} \le -\frac{b}{a} \le \frac{4}{2} \).
إذن: **\( -2 \le \frac{b}{a} \le -0.6 \)**.
التمرين الثالث: الاستدلال الرياضي (Show that)
7 ن
1) ليكن \( x \) عدداً جذرياً موجباً. **برهن** أن:
\( x + \frac{1}{x} \ge 2 \)
كشف البرهان العبقري
ندرس إشارة الفرق: \( (x + \frac{1}{x}) - 2 \).
نوحد المقام: \( \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = \frac{(x - 1)^2}{x} \).
بما أن المربع \( (x-1)^2 \) دائماً موجب و \( x \) موجب، فإن الكسر موجب.
إذن: **\( x + \frac{1}{x} \ge 2 \)**.
نوحد المقام: \( \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = \frac{(x - 1)^2}{x} \).
بما أن المربع \( (x-1)^2 \) دائماً موجب و \( x \) موجب، فإن الكسر موجب.
إذن: **\( x + \frac{1}{x} \ge 2 \)**.
2) إذا كان \( 1 \le x \le 2 \)، برهن أن: \( -3 \le x^2 - 4x \le -2 \).
كشف الحل
نلاحظ أن \( x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \).
تأطير \( x-2 \): بما أن \( 1 \le x \le 2 \)، فإن \( -1 \le x-2 \le 0 \).
تأطير المربع: \( 0 \le (x-2)^2 \le 1 \).
نطرح 4 من الأطراف: \( 0 - 4 \le (x-2)^2 - 4 \le 1 - 4 \).
إذن: **\( -4 \le x^2 - 4x \le -3 \)**.
*(ملاحظة: هذا النوع من الأسئلة يختبر الدقة المتناهية في الحساب).*
تأطير \( x-2 \): بما أن \( 1 \le x \le 2 \)، فإن \( -1 \le x-2 \le 0 \).
تأطير المربع: \( 0 \le (x-2)^2 \le 1 \).
نطرح 4 من الأطراف: \( 0 - 4 \le (x-2)^2 - 4 \le 1 - 4 \).
إذن: **\( -4 \le x^2 - 4x \le -3 \)**.
*(ملاحظة: هذا النوع من الأسئلة يختبر الدقة المتناهية في الحساب).*
"الرياضيات هي صالة ألعاب العقل.. استمر في التدريب."
حقوق التصميم محفوظة لقناة @sakwilatop © 2026
Commentaires
Publier un commentaire