Addition et Soustraction des Rationnels
Cours complet avec exercices d'application (Niveau 2AC)
1. Cas de dénominateurs identiques
C'est la règle de base : on additionne ou on soustrait les numérateurs, et on garde le même dénominateur.
Calculer les expressions suivantes :
$A = \frac{7}{11} + \frac{5}{11} \quad ; \quad B = \frac{-8}{3} - \frac{4}{3}$
Solution :$B = \frac{-8-4}{3} = \frac{-12}{3} = \mathbf{-4}$
2. Cas de dénominateurs différents
Ici, il faut obligatoirement réduire au même dénominateur. Il y a deux situations classiques en 2AC :
A. Un dénominateur est multiple de l'autre
On ne modifie qu'une seule fraction pour atteindre le dénominateur de l'autre.
Calculer : $C = \frac{3}{5} + \frac{7}{10}$
Solution :$C = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} + \frac{7}{10} = \frac{6}{10} + \frac{7}{10} = \frac{6+7}{10} = \mathbf{\frac{13}{10}}$
B. Cas général (Le produit croisé)
On multiplie chaque fraction par le dénominateur de l'autre.
Calculer : $D = \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
Solution :$D = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{8-3}{12} = \mathbf{\frac{5}{12}}$
3. Gestion des signes négatifs
Avant de calculer, il est fortement conseillé de "remonter" les signes moins au numérateur pour éviter les erreurs.
Calculer : $E = \frac{5}{6} + \frac{1}{-2}$
Solution :2. On réduit au dénominateur $6$ (car $6 = 2 \times 3$) :
$E = \frac{5}{6} + \frac{-1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{5}{6} + \frac{-3}{6} = \frac{5 + (-3)}{6} = \frac{2}{6}$
3. On simplifie : $E = \mathbf{\frac{1}{3}}$
✅ Résumé pour réussir :
- Signes : Transforme $\frac{a}{-b}$ en $-\frac{a}{b}$ dès le début.
- Dénominateur : Ne jamais additionner les nombres du bas !
- Simplification : Vérifie toujours si tu peux diviser le haut et le bas par un même nombre à la fin.