امتحان النخبة الذهبية

الفرض المحروس رقم 2 - الدورة 1

NIVEAU OLYMPIADE

المادة: الرياضيات

المستوى: 1 APIC (BIOF)

الموسم: 2025 / 2026

التمرين الأول: تحدي المعادلات الكسرية 7 ن

حل المعادلات التالية بذكاء (Résoudre avec rigueur) :

1) \( \frac{3x - 5}{2} - \frac{2x - 4}{3} = \frac{x}{6} + 2 \) كشف خطوات الحل (احذر من فخ علامة الناقص) - المقام الموحد هو 6: \( \frac{3(3x - 5)}{6} - \frac{2(2x - 4)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{12}{6} \) - نحذف المقام وننشر (انتبه: \( -2 \times -4 = +8 \)): \( 9x - 15 - 4x + 8 = x + 12 \) - نبسط الطرف الأيسر: \( 5x - 7 = x + 12 \) - نجمع المجاهيل: \( 5x - x = 12 + 7 \implies 4x = 19 \) - إذن: **\( x = \frac{19}{4} = 4.75 \)**

2) \( (2x - 4)(x + 7) + (x - 2)(x + 3) = 0 \) كشف سر الحل (التعميل قبل كل شيء) - نلاحظ أن \( 2x - 4 = 2(x - 2) \). - نعوض في المعادلة: \( 2(x - 2)(x + 7) + (x - 2)(x + 3) = 0 \) - العامل المشترك هو \( (x - 2) \): \( (x - 2) [ 2(x + 7) + (x + 3) ] = 0 \) \( (x - 2) [ 2x + 14 + x + 3 ] = 0 \implies (x - 2)(3x + 17) = 0 \) - إذن: \( x - 2 = 0 \) أو \( 3x + 17 = 0 \) - الحلول هي: **\( x = 2 \)** أو **\( x = -\frac{17}{3} \)**.

التمرين الثاني: قوى وتبسيط (تفكير نقدي) 5 ن

1) بسط التعبير التالي إلى أقصى حد (Simplifier au maximum) :

\( K = \frac{(2^3)^2 \times 5^4 \times 10^{-2}}{2^4 \times 5^2} \) كشف الحل (تفكيك العدد 10) - نعلم أن \( 10^{-2} = (2 \times 5)^{-2} = 2^{-2} \times 5^{-2} \). - نعوض في التعبير: \( K = \frac{2^6 \times 5^4 \times 2^{-2} \times 5^{-2}}{2^4 \times 5^2} \) - نجمع أسس البسط: \( K = \frac{2^4 \times 5^2}{2^4 \times 5^2} \) - إذن النتيجة النهائية المذهلة: **\( K = 1 \)**.

التمرين الثالث: النشر والتعميل الجبري 4 ن

1) انشر وبسط التعبير التالي:

\( L = (x - 3)^2 - (x + 3)^2 + 12x \) الحل \( L = (x^2 - 6x + 9) - (x^2 + 6x + 9) + 12x \) \( L = x^2 - 6x + 9 - x^2 - 6x - 9 + 12x \) \( L = -12x + 12x = 0 \). إذن: **\( L = 0 \)**.

2) عمل التعبير التالي (استخدم المتطابقة الثالثة أولاً):

\( M = 25x^2 - 16 + (5x - 4)(x + 2) \) الحل - نلاحظ أن \( 25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2 = (5x - 4)(5x + 4) \). - نعوض: \( M = (5x - 4)(5x + 4) + (5x - 4)(x + 2) \). - العامل المشترك هو \( (5x - 4) \): \( M = (5x - 4) [ (5x + 4) + (x + 2) ] \) \( M = (5x - 4) (6x + 6) = 6(5x - 4)(x + 1) \).

التمرين الرابع: الهندسة (الذكاء الاستدلالي) 4 ن

ليكن \( ABC \) مثلثاً و \( (C) \) الدائرة المحيطة به والتي مركزها \( O \).

إذا كانت القطعة \( [BC] \) هي **قطر** للدائرة \( (C) \)، فبرهن أن المثلث \( ABC \) **قائم الزاوية** في \( A \).

كشف البرهان (قاعدة الدائرة والقطر)

- بما أن \( O \) هو مركز الدائرة المحيطة و \( [BC] \) قطر لها، فإن \( O \) هو منتصف \( [BC] \).
- بما أن \( A \) نقطة من الدائرة، فإن \( OA \) هو شعاع للدائرة.
- وبما أن \( OB \) و \( OC \) هما أيضاً شعاعان، فإن: \( OA = OB = OC \).
- في المثلث \( ABC \)، النقطة \( O \) منتصف \( [BC] \) وتحقق \( OA = \frac{BC}{2} \).
- وحسب الخاصية العكسية للمتوسط المتعلق بالوتر: "إذا كان طول المتوسط يساوي نصف طول الضلع المتعلق به، فإن المثلث قائم الزاوية".
- إذن: **المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)**.

"أنت الآن مستعد لمواجهة أكبر التحديات الرياضية."

تواصل مباشرة: +212 660-062611