امتحان النخبة الذهبية

~5 دقائق قراءة
جدول المحتويات
    Preview Code امتحان النخبة الذهبية - @sakwilatop

    المملكة المغربية

    وزارة التربية الوطنية

    الأكاديمية الجهوية للتميز

    امتحان النخبة الذهبية

    الفرض المحروس رقم 2 - الدورة 1

    NIVEAU OLYMPIADE

    المادة: الرياضيات

    المستوى: 1 APIC (BIOF)

    الموسم: 2025 / 2026

    التمرين الأول: تحدي المعادلات الكسرية 7 ن

    حل المعادلات التالية بذكاء (Résoudre avec rigueur) :

    1) \( \frac{3x - 5}{2} - \frac{2x - 4}{3} = \frac{x}{6} + 2 \) كشف خطوات الحل (احذر من فخ علامة الناقص)
    - المقام الموحد هو 6:
    \( \frac{3(3x - 5)}{6} - \frac{2(2x - 4)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{12}{6} \)
    - نحذف المقام وننشر (انتبه: \( -2 \times -4 = +8 \)):
    \( 9x - 15 - 4x + 8 = x + 12 \)
    - نبسط الطرف الأيسر: \( 5x - 7 = x + 12 \)
    - نجمع المجاهيل: \( 5x - x = 12 + 7 \implies 4x = 19 \)
    - إذن: **\( x = \frac{19}{4} = 4.75 \)**
    2) \( (2x - 4)(x + 7) + (x - 2)(x + 3) = 0 \) كشف سر الحل (التعميل قبل كل شيء)
    - نلاحظ أن \( 2x - 4 = 2(x - 2) \).
    - نعوض في المعادلة: \( 2(x - 2)(x + 7) + (x - 2)(x + 3) = 0 \)
    - العامل المشترك هو \( (x - 2) \):
    \( (x - 2) [ 2(x + 7) + (x + 3) ] = 0 \)
    \( (x - 2) [ 2x + 14 + x + 3 ] = 0 \implies (x - 2)(3x + 17) = 0 \)
    - إذن: \( x - 2 = 0 \) أو \( 3x + 17 = 0 \)
    - الحلول هي: **\( x = 2 \)** أو **\( x = -\frac{17}{3} \)**.
    التمرين الثاني: قوى وتبسيط (تفكير نقدي) 5 ن

    1) بسط التعبير التالي إلى أقصى حد (Simplifier au maximum) :

    \( K = \frac{(2^3)^2 \times 5^4 \times 10^{-2}}{2^4 \times 5^2} \) كشف الحل (تفكيك العدد 10)
    - نعلم أن \( 10^{-2} = (2 \times 5)^{-2} = 2^{-2} \times 5^{-2} \).
    - نعوض في التعبير: \( K = \frac{2^6 \times 5^4 \times 2^{-2} \times 5^{-2}}{2^4 \times 5^2} \)
    - نجمع أسس البسط: \( K = \frac{2^4 \times 5^2}{2^4 \times 5^2} \)
    - إذن النتيجة النهائية المذهلة: **\( K = 1 \)**.
    التمرين الثالث: النشر والتعميل الجبري 4 ن

    1) انشر وبسط التعبير التالي:

    \( L = (x - 3)^2 - (x + 3)^2 + 12x \) الحل
    \( L = (x^2 - 6x + 9) - (x^2 + 6x + 9) + 12x \)
    \( L = x^2 - 6x + 9 - x^2 - 6x - 9 + 12x \)
    \( L = -12x + 12x = 0 \).
    إذن: **\( L = 0 \)**.

    2) عمل التعبير التالي (استخدم المتطابقة الثالثة أولاً):

    \( M = 25x^2 - 16 + (5x - 4)(x + 2) \) الحل
    - نلاحظ أن \( 25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2 = (5x - 4)(5x + 4) \).
    - نعوض: \( M = (5x - 4)(5x + 4) + (5x - 4)(x + 2) \).
    - العامل المشترك هو \( (5x - 4) \):
    \( M = (5x - 4) [ (5x + 4) + (x + 2) ] \)
    \( M = (5x - 4) (6x + 6) = 6(5x - 4)(x + 1) \).
    التمرين الرابع: الهندسة (الذكاء الاستدلالي) 4 ن

    ليكن \( ABC \) مثلثاً و \( (C) \) الدائرة المحيطة به والتي مركزها \( O \).

    إذا كانت القطعة \( [BC] \) هي **قطر** للدائرة \( (C) \)، فبرهن أن المثلث \( ABC \) **قائم الزاوية** في \( A \).

    كشف البرهان (قاعدة الدائرة والقطر)
    - بما أن \( O \) هو مركز الدائرة المحيطة و \( [BC] \) قطر لها، فإن \( O \) هو منتصف \( [BC] \).
    - بما أن \( A \) نقطة من الدائرة، فإن \( OA \) هو شعاع للدائرة.
    - وبما أن \( OB \) و \( OC \) هما أيضاً شعاعان، فإن: \( OA = OB = OC \).
    - في المثلث \( ABC \)، النقطة \( O \) منتصف \( [BC] \) وتحقق \( OA = \frac{BC}{2} \).
    - وحسب الخاصية العكسية للمتوسط المتعلق بالوتر: "إذا كان طول المتوسط يساوي نصف طول الضلع المتعلق به، فإن المثلث قائم الزاوية".
    - إذن: **المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)**.

    "أنت الآن مستعد لمواجهة أكبر التحديات الرياضية."

    تواصل مباشرة: +212 660-062611

    DESIGNED BY @sakwilatop - ACADEMY OF EXCELLENCE