I. Intégrale d'une fonction continue
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \) et \( F \) une primitive de \( f \) sur \( [a, b] \).
Définition :
L'intégrale de \( f \) de \( a \) à \( b \) est le nombre réel noté :
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) \]
II. Propriétés de l'intégrale
Le calcul intégral possède plusieurs propriétés fondamentales facilitant les calculs :
- 1. Linéarité : \[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx \]
- 2. Relation de Chasles : \[ \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx \]
- 3. Positivité : Si \( f(x) \geq 0 \) sur \( [a, b] \), alors \( \int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0 \).
III. Intégration par parties (IPP)
Si \( u \) et \( v \) sont deux fonctions dérivables sur \( [a, b] \) telles que leurs dérivées \( u' \) et \( v' \) sont continues, alors :
\[ \int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx \]
IV. Application : Calcul d'aires
L'aire \( \mathcal{A} \) du domaine délimité par la courbe \( \mathcal{C}_f \), l'axe des abscisses et les droites \( x=a \) et \( x=b \) est :
\[ \mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \quad (\text{en unités d'aire}) \]
📝 Exercice d'application :
Calculer l'intégrale suivante :
\( I = \int_{0}^{1} (x^2 + e^x) dx \)
Solution :
Une primitive de \( x^2 \) est \( \frac{1}{3}x^3 \) et une primitive de \( e^x \) est \( e^x \).
Donc :
\[ I = \left[ \frac{1}{3}x^3 + e^x \right]_{0}^{1} \]
\[ I = \left( \frac{1}{3}(1)^3 + e^1 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 + e^0 \right) \]
\[ I = \frac{1}{3} + e - 1 = e - \frac{2}{3} \]
\( I \approx 2,05 \)
Une primitive de \( x^2 \) est \( \frac{1}{3}x^3 \) et une primitive de \( e^x \) est \( e^x \).
Donc :
\[ I = \left[ \frac{1}{3}x^3 + e^x \right]_{0}^{1} \]
\[ I = \left( \frac{1}{3}(1)^3 + e^1 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 + e^0 \right) \]
\[ I = \frac{1}{3} + e - 1 = e - \frac{2}{3} \]
\( I \approx 2,05 \)
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