I. Intégrale d'une fonction continue
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \) et \( F \) une primitive de \( f \) sur \( [a, b] \).
Définition :
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) \]
II. Propriétés Fondamentales
- 1. Linéarité : \[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx \]
- 2. Relation de Chasles : \[ \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx \]
- 3. Positivité : Si \( f \geq 0 \) sur \( [a, b] \), alors \( \int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0 \).
III. Intégration par Parties (IPP)
Cette technique est utilisée pour intégrer un produit de deux fonctions. Si \( u \) et \( v \) sont dérivables sur \( [a, b] \) :
\[ \int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx \]
Astuce : Utilisez la règle "ALPES" pour choisir \( u(x) \).
IV. Applications Géométriques
1. Calcul d'Aires
L'aire du domaine délimité par \( \mathcal{C}_f \), l'axe des abscisses et les droites \( x=a \) et \( x=b \) est :
\[ \mathcal{A} = \left( \int_{a}^{b} |f(x)| dx \right) \times \text{U.A} \]
2. Calcul de Volumes
Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \( \mathcal{C}_f \) autour de l'axe des abscisses :
\[ \mathcal{V} = \left( \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \right) \times \text{U.V} \]
📝 Exercice d'application :
Calculer l'intégrale suivante en utilisant une intégration par parties :
\( I = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx \)
Solution :
Posons : \( u(x) = \ln(x) \implies u'(x) = \frac{1}{x} \)
Posons : \( v'(x) = x \implies v(x) = \frac{1}{2}x^2 \)
Alors :
\[ I = \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln(x) \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \]
\[ I = \frac{1}{2}e^2 - \left[ \frac{1}{4}x^2 \right]_{1}^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \]
Posons : \( u(x) = \ln(x) \implies u'(x) = \frac{1}{x} \)
Posons : \( v'(x) = x \implies v(x) = \frac{1}{2}x^2 \)
Alors :
\[ I = \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln(x) \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \]
\[ I = \frac{1}{2}e^2 - \left[ \frac{1}{4}x^2 \right]_{1}^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \]
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