Le Calcul Littéral
Simplification, Développement & Factorisation
Réduire une expression littérale, c'est regrouper les termes "de la même famille" (les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble et les nombres seuls ensemble).
$2x + 3x = 5x$ ✔
$2x + 3y$ Impossible de réduire ✘
📝 Exercice : Réduire l'expression suivante
$A = 3x^2 + 5x - 7 - x^2 + 2x + 4$
$A = (3x^2 - x^2) + (5x + 2x) + (-7 + 4)$
$\mathbf{A = 2x^2 + 7x - 3}$
Développer, c'est transformer un produit en une somme.
A. Distributivité simple
$$k(a + b) = ka + kb$$
L'aire totale est $k(a+b)$ ou $ka + kb$.
B. Double distributivité
📝 Exercice : Développer et réduire
$B = 3(x + 4) + (x + 2)(x - 5)$
2. Double distributivité : $(x+2)(x-5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$
3. Somme : $B = (3x + 12) + (x^2 - 3x - 10)$
$\mathbf{B = x^2 + 2}$
Factoriser, c'est l'inverse du développement : transformer une somme en un produit en cherchant un facteur commun.
$$\underline{k}a + \underline{k}b = k(a + b)$$
📝 Exercice : Factoriser les expressions
$C = 5x + 15 \quad ; \quad D = (x+1)(2x+3) + (x+1)(x-4)$
$C = 5 \times x + 5 \times 3 = \mathbf{5(x + 3)}$
- Pour $D$ : le facteur commun est $(x+1)$.
$D = (x+1) [ (2x+3) + (x-4) ]$
$D = (x+1) [ 2x + 3 + x - 4 ] = \mathbf{(x+1)(3x - 1)}$
Ce sont des formules magiques qui permettent de développer et factoriser très rapidement.
Carré d'une somme
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$Carré d'une différence
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$Différence de deux carrés
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$📝 Exercice : Développer en utilisant les identités
$E = (x + 3)^2 \quad ; \quad F = (2x - 5)(2x + 5)$
$E = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = \mathbf{x^2 + 6x + 9}$
- Pour $F$ : $(a-b)(a+b)$ avec $a=2x$ et $b=5$.
$F = (2x)^2 - 5^2 = \mathbf{4x^2 - 25}$
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