Calcul Littéral & Identités Remarquables
Cours Complet - Niveau 3ème Année Collège
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme ou une différence.
A. Distributivité simple
$$k(a + b) = ka + kb$$
B. Double distributivité
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$
$A = x \times 3x + x \times (-1) + 2 \times 3x + 2 \times (-1)$
$A = 3x^2 - x + 6x - 2$
$\mathbf{A = 3x^2 + 5x - 2}$
Ce sont des formules qui permettent de développer et de factoriser beaucoup plus rapidement. Il y en a trois à connaître par cœur en 3AC :
Identité n°1 : Carré d'une somme
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Le terme $2ab$ est appelé le "double produit".
Identité n°2 : Carré d'une différence
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Identité n°3 : Produit d'une somme par une différence
$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
- $C = (2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = \mathbf{4x^2 - 20x + 25}$
- $D = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) = x^2 - (\sqrt{7})^2 = \mathbf{x^2 - 7}$
Factoriser une expression, c'est l'inverse du développement : on transforme une somme en un produit.
A. En cherchant un facteur commun
$$\underline{k}a + \underline{k}b = k(a + b)$$
B. En utilisant les identités remarquables
On utilise les formules précédentes dans l'autre sens :
- $a^2 + 2ab + b^2 \rightarrow (a+b)^2$
- $a^2 - 2ab + b^2 \rightarrow (a-b)^2$
- $a^2 - b^2 \rightarrow (a-b)(a+b)$
- Identité n°3 : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = \mathbf{(x - 4)(x + 4)}$
- Identité n°1 : $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2(x)(5) + 5^2 = \mathbf{(x + 5)^2}$