Calcul Littéral & Identités Remarquables

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Cours Complet - Niveau 3ème Année Collège

1. Le Développement (Développer)

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme ou une différence.

A. Distributivité simple

$$k(a + b) = ka + kb$$

B. Double distributivité

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

$A = (x + 2)(3x - 1)$
$A = x \times 3x + x \times (-1) + 2 \times 3x + 2 \times (-1)$
$A = 3x^2 - x + 6x - 2$
$\mathbf{A = 3x^2 + 5x - 2}$

2. Les Identités Remarquables

Ce sont des formules qui permettent de développer et de factoriser beaucoup plus rapidement. Il y en a trois à connaître par cœur en 3AC :

Identité n°1 : Carré d'une somme

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Le terme $2ab$ est appelé le "double produit".

Identité n°2 : Carré d'une différence

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Identité n°3 : Produit d'une somme par une différence

$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$

- $B = (x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = \mathbf{x^2 + 6x + 9}$
- $C = (2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = \mathbf{4x^2 - 20x + 25}$
- $D = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) = x^2 - (\sqrt{7})^2 = \mathbf{x^2 - 7}$

3. La Factorisation (Factoriser)

Factoriser une expression, c'est l'inverse du développement : on transforme une somme en un produit.

A. En cherchant un facteur commun

$$\underline{k}a + \underline{k}b = k(a + b)$$

B. En utilisant les identités remarquables

On utilise les formules précédentes dans l'autre sens :

$a^2 + 2ab + b^2 \rightarrow (a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 \rightarrow (a-b)^2$
$a^2 - b^2 \rightarrow (a-b)(a+b)$

- Facteur commun : $5x^2 - 10x = 5x(x) - 5x(2) = \mathbf{5x(x - 2)}$
- Identité n°3 : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = \mathbf{(x - 4)(x + 4)}$
- Identité n°1 : $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2(x)(5) + 5^2 = \mathbf{(x + 5)^2}$

3AC : Calcul Littéral & Identités Remarquables - Résumé