Continuité d'une fonction numérique
Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)
I. Continuité en un point \( x_0 \)
On dit qu'une fonction \( f \) est continue en \( x_0 \) si la limite de \( f \) en \( x_0 \) est égale à son image :
Continuité à droite et à gauche : \( f \) est continue en \( x_0 \) si et seulement si :
\( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \)
II. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
C'est l'un des théorèmes les plus importants pour montrer l'existence de solutions d'une équation.
Théorème :
Si \( f \) est continue sur \( [a, b] \), alors pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe au moins un réel \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = k \).
Cas d'unicité : Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( [a, b] \), alors l'équation \( f(x) = k \) admet une unique solution dans \( [a, b] \).
III. Fonction Réciproque
Si \( f \) est continue et strictement monotone sur un intervalle \( I \), alors elle réalise une bijection de \( I \) vers \( J = f(I) \).
Elle admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie de \( J \) vers \( I \) telle que :
La courbe de \( f^{-1} \) est la symétrique de celle de \( f \) par rapport à la droite \( y = x \).
📝 Exercice d'application :
Montrer que l'équation \( x^3 + x - 1 = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) dans l'intervalle \( [0, 1] \).
1. Soit \( f(x) = x^3 + x - 1 \). \( f \) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \( \mathbb{R} \), et en particulier sur \( [0, 1] \).
2. \( f'(x) = 3x^2 + 1 \). Puisque \( f'(x) > 0 \), \( f \) est strictement croissante.
3. On calcule : \( f(0) = -1 \) et \( f(1) = 1 \).
4. Comme \( 0 \) est compris entre \( f(0) \) et \( f(1) \), d'après le TVI, l'équation admet une solution unique \( \alpha \in [0, 1] \).
Pour plus d'exercices sur le TVI و les fonctions réciproques, visitez :
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