Continuité et Dérivabilité - @sakwilatop
WhatsApp : +212 660 062 611
@sakwilatop
الاتصال والاشتقاق
Continuité et Dérivabilité - الدليل الشامل للفهم
1. الاتصال في نقطة
تكون $f$ متصلة في $x_0$ إذا وفقط إذا كان:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
منهجية الحل:
- احسب الصورة $f(x_0)$ أولاً.
- احسب النهاية عندما يؤول $x$ إلى $x_0$.
- قارن النتيجتين.
2. الاتصال على اليمين واليسار
تكون $f$ متصلة في $x_0$ إذا كانت متصلة على اليمين وعلى اليسار في $x_0$:
$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$
مبرهنة القيم الوسيطية (T.V.I)
الشروط لوجود حل على الأقل لـ $f(x)=0$:
-
$f$ متصلة على المجال $[a,b]$.
-
جداء الصور سالب: $f(a) \times f(b) < 0$.
ملاحظة للوحدانية (Solution unique):
يجب إضافة شرط الرتابة القطعية (تزايدية قطعا أو تناقصية قطعا).
التأويل الهندسي:
[رسم بياني يوضح قطع المنحنى لمحور الأفاصيل]
1. الاشتقاق في نقطة
تكون $f$ قابلة للاشتقاق في $x_0$ إذا كانت النهاية التالية عدداً حقيقياً $l$:
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$$
2. معادلة المماس (Tangente)
معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة ذات الأفصول $x_0$ هي:
$$(T): y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
قاعدة ذهبية:
كل دالة قابلة للاشتقاق فهي بالضرورة متصلة. العكس غير صحيح دائماً (مثال: دالة القيمة المطلقة متصلة في 0 لكنها غير قابلة للاشتقاق فيه).
جدول الدوال المشتقة الأساسية
| Fonction $f(x)$ |
Dérivée $f'(x)$ |
| $k$ (constante) |
$0$ |
| $x^n$ |
$n x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ |
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\frac{1}{x}$ |
$-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sin(x)$ |
$\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ |
$-\sin(x)$ |
Commentaires
Publier un commentaire