Les Suites Numériques
Cours Théorique & Exercices d'Application — 1Bac BIOF
01. Généralités
Une suite numérique est une fonction définie de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$. Elle peut être générée de deux manières :
1. Forme Explicite
Le terme $u_n$ est calculé directement en fonction de $n$.
2. Forme Récurrente
Le terme $u_{n+1}$ dépend du terme précédent $u_n$.
Application 01
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 3u_n - 2$ et $u_0 = 1$. Calculer $u_1$ et $u_2$.
Solution :
$u_2 = 3u_1 - 2 = 3(1) - 2 = 1$
Remarque : Cette suite est constante.
02. Monotonie d'une suite
Pour étudier les variations d'une suite $(u_n)$, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :
- • Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$, alors $(u_n)$ est croissante.
- • Si $u_{n+1} - u_n \le 0$, alors $(u_n)$ est décroissante.
Application 02
Étudier la monotonie de la suite $u_n = 5n - 2$.
Solution :
$u_{n+1} - u_n = 5n + 5 - 2 - 5n + 2 = 5$
Puisque $5 > 0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
03. Suites Arithmétiques
Définition :
Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$
Somme : $S = \frac{(n-p+1)}{2}(u_p + u_n)$
Application 03
Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=4$ et $u_0=2$. Calculer $u_{20}$.
Solution :
04. Suites Géométriques
Définition :
Terme général : $v_n = v_p \times q^{n-p}$
Somme ($q \neq 1$) : $S = v_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$
Application 04
Soit $(v_n)$ géométrique de raison $q=3$ et $v_0=2$. Calculer $S = v_0 + v_1 + v_2$.
Solution :
05. Raisonnement par Récurrence
Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ :
Initialisation : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie et démontrer que $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : Conclure que $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.
Application 05
Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Montrer que $u_n < 2$ pour tout $n$.
Solution :
1. Initialisation : Pour $n=0$, $u_0=1 < 2$. Vrai.
2. Hérédité : Supposons $u_n < 2$.
$u_n < 2 \implies u_n + 2 < 4 \implies \sqrt{u_n + 2} < \sqrt{4} \implies u_{n+1} < 2$. Vrai.
3. Conclusion : Par récurrence, $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
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Enseignant
Pr. HICHAM
Mathématiques 1Bac
+212 660 062 611
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