Dénombrement et Probabilités

Niveau : 1ère Année Bac Sciences Expérimentales (BIOF)

I. Principes de Dénombrement

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini, souvent appelé Cardinal et noté \( \text{card}(E) \).

1. Principe multiplicatif (Principe du produit)

Si une opération peut se décomposer en \( k \) étapes indépendantes avec \( n_1, n_2, \dots, n_k \) possibilités, alors le nombre total de possibilités est :

\[ N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k \]

2. Arrangements et Combinaisons

Arrangements (L'ordre compte) :
Nombre de façons de choisir \( p \) éléments parmi \( n \) avec ordre : \[ A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \]

Combinaisons (L'ordre ne compte pas) :
Nombre de façons de choisir \( p \) éléments parmi \( n \) sans ordre : \[ C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \]

II. Calcul des Probabilités

Soit \( \Omega \) l'univers d'une expérience aléatoire où tous les événements élémentaires sont équiprobables.

\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} \]

Propriétés importantes :

\( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \) (Événement contraire)
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Si \( A \) et \( B \) sont incompatibles (\( A \cap B = \emptyset \)), alors \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

📝 Exercice d'application :

Une urne contient 4 boules Blanches et 6 boules Noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne.

1. Calculer \( \text{card}(\Omega) \).

2. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules de la même couleur ?

Solution :
1. Le tirage est simultané, on utilise les combinaisons :
\[ \text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]
2. Soit \( E \) l'événement "3 boules de même couleur" (3B ou 3N) :
\[ \text{card}(E) = C_4^3 + C_6^3 = 4 + 20 = 24 \]
\[ P(E) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} = 0,2 \]

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