Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(1; 2)$, $B(4; -2)$ et $C(6; 2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. (0.5 pt)
2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. (1 pt)
3. Calculer les distances $AB$ et $AC$. (1 pt)
4. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. (1 pt)

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$, $AC = 8$ et $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}$.

1. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer la longueur du côté $BC$. (1.5 pt)
2. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. En utilisant le théorème de la médiane, calculer la distance $AI$. (2 pts)

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{2\pi}{3}$.

1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. (1 pt)
2. Calculer le produit scalaire $A = (2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$. (2 pts)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé :

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(-1; 3)$ et admettant $\vec{n}(2; -5)$ comme vecteur normal. (1.5 pt)
2. Calculer la distance du point $B(4; 2)$ à la droite $(D)$. (1.5 pt)