1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
   a) \(P_1 : (\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 + x + 1 = 0\)
   b) \(P_2 : (\forall n \in \mathbb{N}) : \sqrt{n} \in \mathbb{N}\)
2. Donner la négation des propositions suivantes :
   a) \(Q_1 : (\forall x \in \mathbb{R}) (\exists y \in \mathbb{R}) : x \leq y\)
   b) \(Q_2 : (\forall x \in \mathbb{R}^*) : x > 0 \implies \frac{1}{x} > 0\)

1. Montrer que la proposition est fausse :
   \((\forall x \in \mathbb{R}) (\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 = y^2 \implies x = y\)
2. Montrer par contraposée :
   \(x \neq y \implies \sqrt{x+1} \neq \sqrt{y+1}\)

1. Résoudre : \(|2x - 4| = |x + 1|\)
2. Montrer que \(n(n+1)\) est toujours pair

Montrer par l'absurde : \(\forall x \in \mathbb{R}, \frac{x^2+2}{x^2+1} \neq 2\)

Montrer que : \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\) pour \(a \geq 0, b \geq 0\)

1. Montrer : \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
2. Montrer : \(3^{2n} - 1\) est divisible par \(8\)