Droites Remarquables
Précision Géométrique & Rigueur Mathématique (Niveau 2AC)
1 Les Médiatrices et le Cercle Circonscrit
La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu.
Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point $O$, centre du cercle circonscrit qui passe par les trois sommets.
📝 Exercice d'application :
Soit $ABC$ un triangle tel que $OA = 6$ cm (où $O$ est le point d'intersection des médiatrices). Quelle est la valeur de $OB$ et $OC$ ? Justifiez.
Puisque $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$, alors $O$ est à égale distance des trois sommets.
On a donc : $OA = OB = OC$.
Comme $OA = 6$ cm, alors $\mathbf{OB = 6}$ cm et $\mathbf{OC = 6}$ cm.
On a donc : $OA = OB = OC$.
Comme $OA = 6$ cm, alors $\mathbf{OB = 6}$ cm et $\mathbf{OC = 6}$ cm.
2 Les Médianes et le Centre de Gravité
La médiane est la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.
Règle du 2/3 : Le point d'intersection $G$ (centre de gravité) se situe aux deux tiers de la médiane en partant du sommet :
$$AG = \frac{2}{3} AM$$
📝 Exercice d'application :
Soit $[AM]$ une médiane telle que $AM = 12$ cm. Calculez les longueurs $AG$ et $GM$.
D'après la propriété du centre de gravité :
$AG = \frac{2}{3} \times AM = \frac{2}{3} \times 12 = \mathbf{8}$ cm.
Pour $GM$, on a : $GM = AM - AG = 12 - 8 = \mathbf{4}$ cm (ou $GM = \frac{1}{3} AM$).
$AG = \frac{2}{3} \times AM = \frac{2}{3} \times 12 = \mathbf{8}$ cm.
Pour $GM$, on a : $GM = AM - AG = 12 - 8 = \mathbf{4}$ cm (ou $GM = \frac{1}{3} AM$).
3 Les Hauteurs et l'Orthocentre
La hauteur est la droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Propriété : Les trois hauteurs se coupent en un point $H$ appelé Orthocentre.
📝 Exercice d'application :
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, où se trouve l'orthocentre $H$ ? Justifiez.
Dans un triangle rectangle en $A$ :
1. La hauteur issue de $B$ est le côté $[AB]$ (car $(AB) \perp (AC)$).
2. La hauteur issue de $C$ est le côté $[AC]$ (car $(AC) \perp (AB)$).
L'intersection de ces deux hauteurs est le sommet $A$.
Donc, l'orthocentre $\mathbf{H}$ est confondu avec le sommet $\mathbf{A}$.
1. La hauteur issue de $B$ est le côté $[AB]$ (car $(AB) \perp (AC)$).
2. La hauteur issue de $C$ est le côté $[AC]$ (car $(AC) \perp (AB)$).
L'intersection de ces deux hauteurs est le sommet $A$.
Donc, l'orthocentre $\mathbf{H}$ est confondu avec le sommet $\mathbf{A}$.
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