L'Équation d'une Droite
Coefficients, Parallélisme et Perpendicularité (3AC)
1. La Forme Réduite
L'équation réduite d'une droite $(D)$ non parallèle à l'axe des ordonnées est de la forme :
$$(D) : y = ax + b$$
a : Pente ou Coefficient directeur.
b : Ordonnée à l'origine.
2. Comment déterminer $a$ et $b$ ?
A. Calcul de la pente $a$
Si la droite passe par $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ :
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
B. Calcul de $b$
On utilise les coordonnées d'un point appartenant à la droite pour résoudre l'équation.
Énoncé : Déterminer l'équation de la droite $(AB)$ avec $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 6)$.
Rédaction :
1. Calcul de $a$ : $a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$.
L'équation est $y = 2x + b$.
2. Calcul de $b$ : $A(1;2) \in (AB)$, donc $2 = 2(1) + b \implies b = 2 - 2 = \mathbf{0}$.
L'équation est $(AB) : y = 2x$.
Rédaction :
1. Calcul de $a$ : $a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$.
L'équation est $y = 2x + b$.
2. Calcul de $b$ : $A(1;2) \in (AB)$, donc $2 = 2(1) + b \implies b = 2 - 2 = \mathbf{0}$.
L'équation est $(AB) : y = 2x$.
3. Positions relatives de deux droites
Soient $(D_1) : y = a_1x + b_1$ et $(D_2) : y = a_2x + b_2$ :
Droites Parallèles
$(D_1) // (D_2) \iff \mathbf{a_1 = a_2}$
Elles ont le même coefficient directeur.
Droites Perpendiculaires
$(D_1) \perp (D_2) \iff \mathbf{a_1 \times a_2 = -1}$
Le produit de leurs coefficients est égal à -1.
Énoncé : Trouver $(L)$ passant par $A(0;5)$ et perpendiculaire à $(D) : y = 2x + 1$.
Rédaction :
Soit $a_L$ la pente de $(L)$. On sait que $a_L \times 2 = -1 \implies a_L = \mathbf{-0,5}$.
L'équation est $y = -0,5x + b$.
Comme $A(0;5) \in (L)$, alors $5 = -0,5(0) + b \implies b = \mathbf{5}$.
L'équation est $(L) : y = -0,5x + 5$.
Rédaction :
Soit $a_L$ la pente de $(L)$. On sait que $a_L \times 2 = -1 \implies a_L = \mathbf{-0,5}$.
L'équation est $y = -0,5x + b$.
Comme $A(0;5) \in (L)$, alors $5 = -0,5(0) + b \implies b = \mathbf{5}$.
L'équation est $(L) : y = -0,5x + 5$.