Équations Différentielles
Niveau : 1ère Année Bac Sciences Expérimentales (BIOF)
I. Définition
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction \( y \) (souvent notée \( y(x) \)) et qui fait intervenir une ou plusieurs de ses dérivées (\( y', y'', \dots \)).
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient l'égalité sur un intervalle donné.
II. Équations du type \( y' = ay + b \)
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels (\( a \neq 0 \)).
Solution générale :
Les solutions de l'équation \( y' = ay + b \) sont les fonctions :
III. Équations du type \( y'' + ay' + by = 0 \)
Pour résoudre cette équation, on utilise l'équation caractéristique : \( r^2 + ar + b = 0 \).
Soit \( \Delta = a^2 - 4b \) le discriminant de cette équation :
-
Cas 1 : \( \Delta > 0 \)
Deux racines réelles \( r_1 \) et \( r_2 \). La solution est : \[ y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \] -
Cas 2 : \( \Delta = 0 \)
Une racine double \( r_0 \). La solution est : \[ y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x} \] -
Cas 3 : \( \Delta < 0 \)
Deux racines complexes \( p \pm iq \). La solution est : \[ y(x) = e^{px} (A \cos(qx) + B \sin(qx)) \]
📝 Exercice d'application :
Résoudre l'équation différentielle suivante :
\( (E): y' - 3y = 6 \)
L'équation est de la forme \( y' = ay + b \) avec \( a = 3 \) et \( b = 6 \).
On calcule \( -\frac{b}{a} = -\frac{6}{3} = -2 \).
La solution générale est donc :
\[ y(x) = C \cdot e^{3x} - 2 \quad (C \in \mathbb{R}) \]
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