2emeBAC : Équations Différentielles (BIOF)

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جدول المحتويات

    Équations Différentielles

    Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

    I. Équations du type \( y' = ay + b \)

    Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction \( y \) et sa dérivée \( y' \).

    Solution Générale :

    Les solutions de l'équation \( y' = ay + b \) (avec \( a \neq 0 \)) sont :

    \[ y(x) = C \cdot e^{ax} - \frac{b}{a} \quad (C \in \mathbb{R}) \]

    II. Équations du type \( y'' + ay' + by = 0 \)

    Pour résoudre cette équation, on introduit l'équation caractéristique : \( r^2 + ar + b = 0 \).

    Soit \( \Delta = a^2 - 4b \) le discriminant :

    • Cas 1 : \( \Delta > 0 \)
      Deux racines réelles \( r_1 \) et \( r_2 \). La solution est : \[ y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \]
    • Cas 2 : \( \Delta = 0 \)
      Une racine double \( r_0 \). La solution est : \[ y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x} \]
    • Cas 3 : \( \Delta < 0 \)
      Deux racines complexes \( p \pm iq \). La solution est : \[ y(x) = e^{px} (A \cos(qx) + B \sin(qx)) \]

    📝 Exercice d'application :

    Résoudre l'équation différentielle suivante :

    \( (E): y'' - 3y' + 2y = 0 \)

    Solution :
    L'équation caractéristique est : \( r^2 - 3r + 2 = 0 \).
    On calcule \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \).
    Les racines sont \( r_1 = 1 \) et \( r_2 = 2 \).
    La solution générale est donc :
    \[ y(x) = \alpha e^{x} + \beta e^{2x} \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R}) \]

    Pour des exercices corrigés et des applications en physique (RC, RL, RLC) :

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