أولاً: المعادلات من النوع \( y' = ay + b \)

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي علاقة بين دالة \( y \) ومشتقتها \( y' \).

ثانيًا: المعادلات من النوع \( y'' + ay' + by = 0 \)

لحل هذه المعادلة، نقدم المعادلة المميزة: \( r^2 + ar + b = 0 \).

ليكن \( \Delta = a^2 - 4b \) هو المميز:

• الحالة الأولى: \( \Delta > 0 \)
  جذران حقيقيان \( r_1 \) و\( r_2 \). الحل هو: \[ y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \]
• الحالة الثانية: \( \Delta = 0 \)
  جذر مضاعف \( r_0 \). الحل هو: \[ y(x) = (\alpha x + \beta)\, e^{r_0 x} \]
• الحالة الثالثة: \( \Delta < 0 \)
  جذران مركبان \( p \pm iq \). الحل هو: \[ y(x) = e^{px}\left(A\cos(qx) + B\sin(qx)\right) \]