Fonction Exponentielle Népérienne

Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

I. Définition et Propriétés

La fonction exponentielle népérienne, notée \( \exp \) ou \( x \mapsto e^x \), est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \( \ln \).

Ensemble de définition : \( D_{\exp} = \mathbb{R} \).
Ensemble d'arrivée : \( \exp(\mathbb{R}) = ]0, +\infty[ \). (Elle est toujours strictement positive).
Relation fondamentale : \( e^x = y \iff x = \ln(y) \) pour tout \( y > 0 \).
Valeurs clés : \( e^0 = 1 \) et \( e^1 = e \approx 2,718 \).

II. Propriétés Algébriques

Pour tous réels \( a \) et \( b \), et pour tout \( n \in \mathbb{Z} \) :

\[ e^{a+b} = e^a \times e^b \] \[ e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \] \[ e^{-a} = \frac{1}{e^a} \] \[ (e^a)^n = e^{n \cdot a} \]

III. Limites Usuelles

La fonction exponentielle croît très rapidement vers \( +\infty \). Voici les limites à connaître :

\[ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \]

Croissances Comparées :

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad (n \in \mathbb{N}) \] \[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]

IV. Dérivée et Composition

La fonction exponentielle est dérivable sur \( \mathbb{R} \) :

\[ (e^x)' = e^x \]

Formule de composition : Si \( u \) est une fonction dérivable sur \( I \), alors :

\[ (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \]

📝 Exercice d'application :

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation : \( e^{2x} - 4e^x + 3 = 0 \).

2. Calculer la dérivée de la fonction : \( f(x) = e^{-x^2 + 5x} \).

Solution (Question 1) :
- On pose \( X = e^x \) (avec \( X > 0 \)).
- L'équation devient : \( X^2 - 4X + 3 = 0 \).
- Les racines sont \( X_1 = 1 \) et \( X_2 = 3 \).
- On revient à \( x \) : \( e^x = 1 \implies x = 0 \) et \( e^x = 3 \implies x = \ln(3) \).
- Solution : \( S = \{0, \ln(3)\} \).

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