Fonction Logarithme Népérien (\(\ln\))

Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

I. Définition et Domaine

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est l'unique primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( ]0, +\infty[ \) qui s'annule en 1.

Ensemble de définition : \( D_{\ln} = ]0, +\infty[ \).
Valeurs remarquables : \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \) (avec \( e \approx 2,718 \)).
Signe : \( \ln(x) < 0 \) si \( x \in ]0, 1[ \) et \( \ln(x) > 0 \) si \( x \in ]1, +\infty[ \).

II. Propriétés Algébriques

Pour tous réels strictement positifs \( a \) et \( b \), et pour tout \( r \in \mathbb{Q} \) :

\[ \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \] \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \] \[ \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) \] \[ \ln(a^r) = r \ln(a) \]

III. Limites Usuelles

Ces limites sont indispensables pour l'étude des branches infinies :

\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \] \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \]

Croissances Comparées :

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*) \] \[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \]

IV. Dérivée et Variations

La fonction \( \ln \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) :

\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \]

Généralisation : Si \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive sur \( I \), alors :

\( (\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \)

📝 Exercice d'application :

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation : \( \ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2) \).

2. Calculer la limite : \( \lim_{x \to +\infty} (x - \ln x) \).

Solution (Question 1) :
- Domaine : \( x > 0 \) et \( x-1 > 0 \implies D = ]1, +\infty[ \).
- L'équation devient : \( \ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2 - x = 2 \).
- \( x^2 - x - 2 = 0 \). Les racines sont \( x_1 = -1 \) (rejetée) et \( x_2 = 2 \).
- Solution : \( S = \{2\} \).

Pour des exercices corrigés et des vidéos explicatives, rejoignez-nous :