Les Fonctions Affines
Maîtriser les droites et les coefficients (3AC)
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels fixes. La relation qui à chaque nombre réel $x$ associe le nombre $ax + b$ est appelée fonction affine.
$$f(x) = ax + b$$
Note : Si $b=0$, la fonction est linéaire. Si $a=0$, la fonction est constante.
A. Calcul du coefficient directeur $a$
Pour deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$ :
$$a = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$$
B. Calcul de $b$
Une fois $a$ trouvé, on utilise un point connu pour résoudre l'équation $b = f(x) - ax$.
Rédaction :
1. Calcul de $a$ : $a = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$.
2. Calcul de $b$ : On sait que $f(1) = 2(1) + b = 5$.
$2 + b = 5 \implies b = 5 - 2 = \mathbf{3}$.
Donc : $f(x) = 2x + 3$.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui ne passe pas nécessairement par l'origine. Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; b)$.
Pour tracer la droite, on choisit deux valeurs de $x$ au hasard et on calcule leurs images.
Soit $h$ la fonction affine telle que $h(x) = 3x - 1$.
1. Calculer l'image de $-2$ par $h$.
2. Déterminer l'antécédent de $5$ par $h$.
$h(-2) = 3(-2) - 1 = -6 - 1 = \mathbf{-7}$.
2. Calcul de l'antécédent :
On cherche $x$ tel que $h(x) = 5$.
$3x - 1 = 5 \implies 3x = 5 + 1 \implies 3x = 6$
$x = \frac{6}{3} = \mathbf{2}$.
L'antécédent de 5 par la fonction $h$ est 2.