3AC : Fonctions Affines - Résumé

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    Fonctions Affines - 3AC | @sakwilatop

    Les Fonctions Affines

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    Maîtriser les droites et les coefficients (3AC)

    1. Définition

    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels fixes. La relation qui à chaque nombre réel $x$ associe le nombre $ax + b$ est appelée fonction affine.

    $$f(x) = ax + b$$

    a : Coefficient directeur (pente).
    b : Ordonnée à l'origine.

    Note : Si $b=0$, la fonction est linéaire. Si $a=0$, la fonction est constante.

    2. Déterminer $a$ et $b$

    A. Calcul du coefficient directeur $a$

    Pour deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$ :

    $$a = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$$

    B. Calcul de $b$

    Une fois $a$ trouvé, on utilise un point connu pour résoudre l'équation $b = f(x) - ax$.

    Énoncé : Trouver la fonction affine $f$ telle que $f(1) = 5$ et $f(3) = 9$.
    Rédaction :
    1. Calcul de $a$ : $a = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$.
    2. Calcul de $b$ : On sait que $f(1) = 2(1) + b = 5$.
    $2 + b = 5 \implies b = 5 - 2 = \mathbf{3}$.
    Donc : $f(x) = 2x + 3$.
    3. Représentation Graphique

    La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui ne passe pas nécessairement par l'origine. Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; b)$.

    x y b (Ordonnée à l'origine)

    Pour tracer la droite, on choisit deux valeurs de $x$ au hasard et on calcule leurs images.

    4. Exercice Type Examen

    Soit $h$ la fonction affine telle que $h(x) = 3x - 1$.
    1. Calculer l'image de $-2$ par $h$.
    2. Déterminer l'antécédent de $5$ par $h$.

    1. Calcul de l'image :
    $h(-2) = 3(-2) - 1 = -6 - 1 = \mathbf{-7}$.

    2. Calcul de l'antécédent :
    On cherche $x$ tel que $h(x) = 5$.
    $3x - 1 = 5 \implies 3x = 5 + 1 \implies 3x = 6$
    $x = \frac{6}{3} = \mathbf{2}$.
    L'antécédent de 5 par la fonction $h$ est 2.