Géométrie dans l’espace

Niveau : 1ère Année Bac Sciences Expérimentales (BIOF)

[ المساحة الإعلانية التلقائية ]

I. Vecteurs de l'espace

Soient \( A(x_A, y_A, z_A) \) et \( B(x_B, y_B, z_B) \) deux points de l'espace. Le vecteur \( \vec{AB} \) a pour coordonnées :

\[ \vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} \]

II. Colinéarité et Coplanarité

1. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires s'il existe un réel \( k \) tel que :

\[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]

2. Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) et \( \vec{w} \) sont coplanaires si :

\[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \quad (a, b \in \mathbb{R}) \]

III. Étude analytique des droites

La représentation paramétrique de la droite \( (D) \) passant par \( A(x_0, y_0, z_0) \) et dirigée par \( \vec{u}(a, b, c) \) est :

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

IV. Équation cartésienne du plan

L'équation cartésienne d'un plan \( (P) \) de vecteur normal \( \vec{n}(a, b, c) \) est :

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

📝 Exercice d'application :

Soit \( A(1, -1, 2) \) et \( \vec{u}(2, 3, -1) \).

1. Déterminer la représentation paramétrique de la droite \( (\Delta) \) passant par \( A \) et dirigée par \( \vec{u} \).

2. Le point \( M(5, 5, 0) \) appartient-il à \( (\Delta) \) ?

Solution :
On vérifie s'il existe \( t \in \mathbb{R} \) tel que :
\( 5 = 1 + 2t \implies 2t = 4 \implies t = 2 \)
\( 5 = -1 + 3t \implies 3t = 6 \implies t = 2 \)
\( 0 = 2 - 1t \implies -t = -2 \implies t = 2 \)
Puisque la valeur de \( t \) est unique, alors \( M \in (\Delta) \).

Pour plus de cours et d'exercices corrigés, rejoignez-nous :

S'abonner à @sakwilatop

1ereBAC : Géométrie dans l’espace - Résumé