1ereBAC : Géométrie dans l’espace - Résumé

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جدول المحتويات

    Géométrie dans l’espace

    Niveau : 1ère Année Bac Sciences Expérimentales (BIOF)

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    I. Vecteurs de l'espace

    Soient \( A(x_A, y_A, z_A) \) et \( B(x_B, y_B, z_B) \) deux points de l'espace. Le vecteur \( \vec{AB} \) a pour coordonnées :

    \[ \vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} \]

    II. Colinéarité et Coplanarité

    1. Vecteurs colinéaires

    Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires s'il existe un réel \( k \) tel que :

    \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]

    2. Vecteurs coplanaires

    Trois vecteurs \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) et \( \vec{w} \) sont coplanaires si :

    \[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \quad (a, b \in \mathbb{R}) \]

    III. Étude analytique des droites

    La représentation paramétrique de la droite \( (D) \) passant par \( A(x_0, y_0, z_0) \) et dirigée par \( \vec{u}(a, b, c) \) est :

    \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

    IV. Équation cartésienne du plan

    L'équation cartésienne d'un plan \( (P) \) de vecteur normal \( \vec{n}(a, b, c) \) est :

    \[ ax + by + cz + d = 0 \]

    📝 Exercice d'application :

    Soit \( A(1, -1, 2) \) et \( \vec{u}(2, 3, -1) \).

    1. Déterminer la représentation paramétrique de la droite \( (\Delta) \) passant par \( A \) et dirigée par \( \vec{u} \).

    2. Le point \( M(5, 5, 0) \) appartient-il à \( (\Delta) \) ?

    Solution :
    On vérifie s'il existe \( t \in \mathbb{R} \) tel que :
    \( 5 = 1 + 2t \implies 2t = 4 \implies t = 2 \)
    \( 5 = -1 + 3t \implies 3t = 6 \implies t = 2 \)
    \( 0 = 2 - 1t \implies -t = -2 \implies t = 2 \)
    Puisque la valeur de \( t \) est unique, alors \( M \in (\Delta) \).

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