2emeBAC : Géométrie dans l’espace (BIOF)

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جدول المحتويات

    Géométrie dans l’espace

    Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

    I. Produit Scalaire dans l'espace

    Soient \( \vec{u}(x, y, z) \) et \( \vec{v}(x', y', z') \) deux vecteurs dans un repère orthonormé.

    Expression analytique :

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' \]

    Norme d'un vecteur : \( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)

    Équation cartésienne d'un plan

    Le plan \( (P) \) passant par \( A(x_A, y_A, z_A) \) et de vecteur normal \( \vec{n}(a, b, c) \) a pour équation :

    \[ ax + by + cz + d = 0 \]

    II. Produit Vectoriel

    Le produit vectoriel de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), noté \( \vec{u} \wedge \vec{v} \), est un vecteur orthogonal à la fois à \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).

    Applications :

    • Aire d'un triangle ABC : \( S_{ABC} = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}|| \)
    • Distance d'un point M à une droite (D) : \( d(M, D(A, \vec{u})) = \frac{||\vec{AM} \wedge \vec{u}||}{||\vec{u}||} \)

    III. Équation de la Sphère

    L'équation cartésienne de la sphère \( (S) \) de centre \( \Omega(a, b, c) \) et de rayon \( R \) est :

    \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \]

    📝 Exercice d'application :

    Soit le plan \( (P) \) d'équation : \( 2x - y + 2z - 5 = 0 \) et le point \( A(1, 3, 2) \).

    1. Déterminer la distance du point \( A \) au plan \( (P) \).

    Solution :
    On utilise la formule de la distance d'un point à un plan :
    \[ d(A, P) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
    \[ d(A, P) = \frac{|2(1) - (3) + 2(2) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 3 + 4 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3} \]

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