Géométrie dans l'Espace

@sakwilatop

Orthogonalité, Pythagore 3D et Réduction (3AC)

1. Droite perpendiculaire à un plan

Une droite $(D)$ est perpendiculaire à un plan $(P)$ en un point $A$ si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan passant par $A$.

Propriété : Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan passant par son point d'intersection.

2. Théorème de Pythagore en 3D

On utilise le théorème de Pythagore dans les faces ou les sections pour calculer des longueurs (diagonales, hauteurs).

Énoncé : Soit un cube $ABCDEFGH$ de côté $a = 5$ cm. Calculer la diagonale $[AC]$ de la base, puis la grande diagonale $[AG]$.

1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 50 \implies \mathbf{AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}}$ cm.
2. Dans le triangle $ACG$ rectangle en $C$ :
$AG^2 = AC^2 + CG^2 = 50 + 5^2 = 75 \implies \mathbf{AG = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}}$ cm.

3. Agrandissement et Réduction

Si on multiplie les dimensions d'un objet par un rapport $k$ ($k > 0$) :

Les Longueurs ($L$) $L' = k \times L$

Les Aires ($A$) $A' = k^2 \times A$

Les Volumes ($V$) $V' = k^3 \times V$

Note : Si $k > 1$, c'est un agrandissement. Si $0 < k < 1$, c'est une réduction.

4. Application (Section d'une pyramide)

Une pyramide $SABCD$ de volume $V = 72 \text{ cm}^3$ est coupée par un plan parallèle à la base tel que la nouvelle petite pyramide $SA'B'C'D'$ a des côtés 2 fois plus petits ($k = 1/2$).
Calculer le volume $V'$ de la petite pyramide.

On sait que le rapport de réduction est $k = \frac{1}{2}$.

Pour les volumes, la règle est : $V' = k^3 \times V$.

$V' = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times 72$

$V' = \frac{1}{8} \times 72$

$\mathbf{V' = 9 \text{ cm}^3}$.

3AC : Géométrie dans l'Espace

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