Le Théorème de Thalès
Calculer des longueurs et prouver le parallélisme (3AC)
1. Le Théorème Direct (Calculer des longueurs)
Si dans un triangle $ABC$, on a une droite $(MN)$ parallèle à $(BC)$, alors les rapports des côtés correspondants sont égaux.
Configuration 1 : Triangle
L'égalité de Thalès :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
Configuration 2 : Papillon
Données : $AB=6, AC=9, AM=2$ et $(MN)//(BC)$. Calculer $AN$.
Rédaction :
Dans le triangle $ABC$, on a $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$.
Puisque $(MN)//(BC)$, d'après le théorème de Thalès :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{2}{6} = \frac{AN}{9}$
$AN = \frac{2 \times 9}{6} = \frac{18}{6} = \mathbf{3}$.
Rédaction :
Dans le triangle $ABC$, on a $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$.
Puisque $(MN)//(BC)$, d'après le théorème de Thalès :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{2}{6} = \frac{AN}{9}$
$AN = \frac{2 \times 9}{6} = \frac{18}{6} = \mathbf{3}$.
2. La Réciproque (Démontrer le parallélisme)
Elle sert à prouver que deux droites sont parallèles.
Conditions de Réussite :
1. Les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre.
2. On compare les rapports : $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$.
3. Si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Données : $AB=5, AM=2, AC=10, AN=4$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Rédaction :
D'une part : $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = \mathbf{0,4}$
D'autre part : $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = \mathbf{0,4}$
Puisque $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ et que les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) // (BC)$.
Rédaction :
D'une part : $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = \mathbf{0,4}$
D'autre part : $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = \mathbf{0,4}$
Puisque $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ et que les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) // (BC)$.
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