La Symétrie Axiale
Comprendre les transformations géométriques et leurs propriétés (2AC)
La symétrie axiale est une transformation géométrique qui agit comme un "miroir". Elle crée une image inversée d'une figure par rapport à une droite appelée axe de symétrie.
1. Symétrique d'un point
Le symétrique d'un point $A$ par rapport à une droite $(L)$ est le point $A'$ tel que la droite $(L)$ soit la médiatrice du segment $[AA']$.
Fig 1: $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(L)$.
Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(D)$, et que la distance entre $A$ et $(D)$ est de $3$ cm, quelle est la longueur du segment $[AA']$ ?
Solution :Donc $AA' = 3 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = \mathbf{6 \text{ cm}}$.
2. Symétrie d'un segment et d'une droite
Propriété : La symétrie axiale conserve les distances. Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
Fig 2: $AB = A'B'$
Soit $[EF]$ un segment de $5$ cm. Si $[E'F']$ est son symétrique par rapport à une droite $(L)$, quelle est la longueur de $[E'F']$ ? Justifiez.
Solution :3. Symétrie d'un angle
Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure. La symétrie axiale conserve la mesure des angles.
Si $\widehat{ABC} = 60^\circ$, quelle est la mesure de son symétrique $\widehat{A'B'C'}$ ?
Solution :4. Symétrie d'un cercle
Le symétrique d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est un cercle de centre $O'$ (le symétrique de $O$) et de même rayon $R$.
5. Propriétés de conservation
La symétrie axiale conserve :
- 📏 Les distances : $AB = A'B'$.
- 📍 L'alignement : Si $A, B, C$ sont alignés, alors $A', B', C'$ le sont aussi.
- 📐 Les angles : $\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}$.
- 🟦 Les aires : Une figure et son symétrique ont la même surface.
💡 Résumé pour l'élève :
Pour construire le symétrique d'une figure complexe, il suffit de construire les symétriques de ses points principaux (sommets pour un polygone, centre pour un cercle) et de les relier. N'oubliez pas que l'axe est toujours la médiatrice des segments reliant chaque point à son image.