1. L'ensemble des entiers naturels
L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N}$. Il est composé des nombres :
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté $\mathbb{N}^*$ :
2. Parité d'un entier naturel
Nombre Pair
On dit que $n$ est pair s'il existe un entier $k \in \mathbb{N}$ tel que :
Nombre Impair
On dit que $n$ est impair s'il existe un entier $k \in \mathbb{N}$ tel que :
3. Diviseurs et Multiples
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. On dit que $a$ divise $b$ s'il existe un entier $k \in \mathbb{N}$ tel que :
Critères de divisibilité rapides :
- Divisible par $3$ : si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
- Divisible par $5$ : si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
- Divisible par $9$ : si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.
4. Nombres Premiers
Un entier naturel $n$ est premier s'il possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Décomposition en facteurs premiers :
Tout entier $n \geq 2$ peut se décomposer sous la forme :
5. PGCD et PPCM
PGCD : Le plus grand commun diviseur. On prend les facteurs communs avec le plus petit exposant.
PPCM : Le plus petit commun multiple. On prend tous les facteurs avec le plus grand exposant.
Propriété importante :
$$a \times b = \text{pgcd}(a,b) \times \text{ppcm}(a,b)$$