Les Ensembles des Nombres : $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

Introduction

En mathématiques, les nombres sont classés dans différents ensembles selon leurs propriétés. Chaque ensemble est inclus dans le suivant, formant une hiérarchie allant des entiers les plus simples aux nombres réels les plus complexes.

1. L'ensemble $\mathbb{N}$

Entiers Naturels

Nombres positifs permettant de compter des objets.

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$

2. L'ensemble $\mathbb{Z}$

Entiers Relatifs

Comprend les entiers naturels et leurs opposés négatifs.

$\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$

3. L'ensemble $\mathbb{D}$

Nombres Décimaux

Nombres pouvant s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ (partie décimale finie).

Ex: $1,5 \in \mathbb{D}$ car $1,5 = \frac{15}{10^1}$

4. L'ensemble $\mathbb{Q}$

Nombres Rationnels

Quotient de deux entiers relatifs $\frac{a}{b}$ avec $b \neq 0$.

Ex: $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$

5. L'ensemble $\mathbb{R}$ (Nombres Réels)

C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons au lycée. Il comprend les rationnels et les irrationnels (nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction).

Exemples d'Irrationnels :

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \text{Irrationnels}$

Résumé des Inclusions

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Tout entier naturel est un entier relatif, qui est un décimal, qui est un rationnel, qui est un réel.

Prêt pour les exercices ?

Maîtrisez les ensembles et les identités remarquables en regardant nos vidéos dédiées.

Voir la Playlist TCS

TC: Les Ensembles des Nombres - Résumé