I. Forme algébrique d'un nombre complexe
Il existe un ensemble noté \( \mathbb{C} \), appelé ensemble des nombres complexes, tel que :
- Contient l'ensemble \( \mathbb{R} \).
- Contient un nombre imaginaire noté \( i \) tel que \( i^2 = -1 \).
Tout nombre complexe \( z \) s'écrit de façon unique sous la forme :
\[ z = a + bi \]
Où \( a \) et \( b \) sont des réels.
- \( a = \text{Re}(z) \) est la partie réelle.
- \( b = \text{Im}(z) \) est la partie imaginaire.
II. Conjugué et Module
1. Le Conjugué (\(\bar{z}\))
Le conjugué de \( z = a + bi \) est le nombre complexe :
\[ \bar{z} = a - bi \]
2. Le Module (\(|z|\))
Le module de \( z \) est le nombre réel positif défini par :
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
III. Résolution d'équations dans \(\mathbb{C}\)
Considérons l'équation \( az^2 + bz + c = 0 \) avec \( a, b, c \in \mathbb{R} \). On calcule le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \).
- Si \( \Delta > 0 \) : Deux solutions réelles \( z_1, z_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \).
- Si \( \Delta = 0 \) : Une solution réelle unique \( z = \frac{-b}{2a} \).
- Si \( \Delta < 0 \) : Deux solutions complexes conjuguées : \[ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \]
📝 Exercice d'application :
Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation suivante :
\( z^2 - 2z + 5 = 0 \)
Solution :
On calcule \( \Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \).
Puisque \( \Delta < 0 \), l'équation admet deux solutions complexes :
\[ z_1 = \frac{2 - i\sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i \]
\[ z_2 = \bar{z_1} = 1 + 2i \]
Les solutions sont \( S = \{1 - 2i, 1 + 2i\} \).
On calcule \( \Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \).
Puisque \( \Delta < 0 \), l'équation admet deux solutions complexes :
\[ z_1 = \frac{2 - i\sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i \]
\[ z_2 = \bar{z_1} = 1 + 2i \]
Les solutions sont \( S = \{1 - 2i, 1 + 2i\} \).
Pour plus de cours et d'exercices corrigés, rejoignez-nous :
S'abonner à @sakwilatop
Commentaires
Publier un commentaire