2emeBAC : Les Nombres Complexes

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جدول المحتويات

    Les Nombres Complexes

    Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

    I. Forme Algébrique

    L'ensemble des nombres complexes est noté \( \mathbb{C} \). Tout nombre complexe \( z \) s'écrit de façon unique :

    \[ z = a + bi \quad \text{avec} \quad i^2 = -1 \]

    Où \( a = \text{Re}(z) \) (partie réelle) et \( b = \text{Im}(z) \) (partie imaginaire).

    Conjugué : \( \bar{z} = a - bi \)
    Module : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

    II. Formes Trigonométrique et Exponentielle

    Soit \( z \neq 0 \). On pose \( r = |z| \) et \( \theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi} \).

    1. Forme Trigonométrique

    \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

    2. Forme Exponentielle

    \[ z = r e^{i\theta} \]

    III. Résolution d'équations dans \(\mathbb{C}\)

    Pour résoudre \( az^2 + bz + c = 0 \), on calcule \( \Delta = b^2 - 4ac \). Si \( \Delta < 0 \), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

    \[ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad ; \quad z_2 = \bar{z_1} \]

    IV. Complexes et Géométrie

    Notion Géométrique Interprétation Complexe
    Distance \( AB \) \( |z_B - z_A| \)
    Affixe du milieu de \( [AB] \) \( \frac{z_A + z_B}{2} \)
    Angle \( (\vec{AB}, \vec{AC}) \) \( \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \)

    📝 Exercice d'application (Bac) :

    1. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) : \( z^2 - 2z + 4 = 0 \).

    2. Écrire la solution \( z_1 = 1 + i\sqrt{3} \) sous forme trigonométrique.

    Correction rapide :
    1. \( \Delta = 4 - 16 = -12 \). Solutions : \( z = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3} \).
    2. \( |z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \).
    \( z_1 = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \).

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