2emeBAC : Les Nombres Complexes

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جدول المحتويات

    Les Nombres Complexes

    Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

    I. Forme Algébrique

    L'ensemble des nombres complexes est noté \( \mathbb{C} \). Tout nombre complexe \( z \) s'écrit de façon unique :

    \[ z = a + bi \quad \text{avec} \quad i^2 = -1 \]

    Où \( a = \text{Re}(z) \) (partie réelle) et \( b = \text{Im}(z) \) (partie imaginaire).

    Conjugué : \( \bar{z} = a - bi \)
    Module : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

    II. Formes Trigonométrique et Exponentielle

    Soit \( z \neq 0 \). On pose \( r = |z| \) et \( \theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi} \).

    1. Forme Trigonométrique

    \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

    2. Forme Exponentielle

    \[ z = r e^{i\theta} \]

    III. Résolution d'équations dans \(\mathbb{C}\)

    Pour résoudre \( az^2 + bz + c = 0 \), on calcule \( \Delta = b^2 - 4ac \). Si \( \Delta < 0 \), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

    \[ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad ; \quad z_2 = \bar{z_1} \]

    IV. Complexes et Géométrie

    Notion GéométriqueInterprétation Complexe
    Distance \( AB \)\( |z_B - z_A| \)
    Affixe du milieu de \( [AB] \)\( \frac{z_A + z_B}{2} \)
    Angle \( (\vec{AB}, \vec{AC}) \)\( \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \)

    📝 Exercice d'application (Bac) :

    1. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) : \( z^2 - 2z + 4 = 0 \).

    2. Écrire la solution \( z_1 = 1 + i\sqrt{3} \) sous forme trigonométrique.

    Correction rapide :
    1. \( \Delta = 4 - 16 = -12 \). Solutions : \( z = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3} \).
    2. \( |z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \).
    \( z_1 = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \).
    Pour résumer : chaque nombre complexe peut être décrit sous trois formes équivalentes — algébrique, trigonométrique et exponentielle — et le passage d'une forme à l'autre repose entièrement sur le calcul du module \( r \) et de l'argument \( \theta \). Cette double lecture (algébrique et géométrique) est ce qui rend les nombres complexes si utiles pour traiter les problèmes de distance, de milieu et d'angle dans le plan.

    Pour des exercices de préparation au concours et au Bac :

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