Après avoir manipulé les nombres entiers et décimaux en première année, le programme de la 2ème année collège (2AC) introduit une nouvelle famille de nombres : les nombres rationnels. Ces nombres sont essentiels pour résoudre des équations plus complexes et modéliser des partages précis.

1. Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Par définition, un nombre rationnel est le quotient d'un entier relatif $a$ par un entier relatif non nul $b$. Il s'écrit sous la forme d'une fraction :

$$x = \frac{a}{b}$$

Où $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur ($b \neq 0$).

Remarque : Tout nombre entier est aussi un nombre rationnel. Par exemple, $5$ peut s'écrire $\frac{5}{1}$.

2. La règle des signes

Le signe d'un nombre rationnel suit la même logique que la multiplication des nombres relatifs :

  • Si $a$ et $b$ ont le même signe, alors $\frac{a}{b}$ est positif.
    Exemple : $\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$
  • Si $a$ et $b$ ont des signes contraires, alors $\frac{a}{b}$ est négatif.
    Exemple : $\frac{-5}{2} = -\frac{5}{2} = \frac{5}{-2}$

3. Égalité et Simplification

La valeur d'un nombre rationnel ne change pas si l'on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul $k$.

$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$$

Cette propriété est utilisée pour simplifier des fractions ou pour réduire au même dénominateur avant une addition.

4. Opérations fondamentales

Addition et Soustraction

Pour additionner deux nombres rationnels, ils doivent impérativement avoir le même dénominateur :

$$\frac{a}{k} + \frac{b}{k} = \frac{a + b}{k}$$

Multiplication et Division

La multiplication est plus simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Pour la division, on multiplie le premier nombre par l'inverse du second :

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

En résumé

Maîtriser les nombres rationnels demande de la rigueur sur deux points : la gestion des signes et la réduction au même dénominateur. Une fois ces mécanismes acquis, vous pourrez aborder sereinement les chapitres sur les puissances et le calcul littéral.