3AC : Les Puissances - Résumé

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    Cours : Les Puissances - 3AC | @sakwilatop

    Les Puissances

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    Cours Complet - Niveau 3ème Année Collège

    1. Définition et Cas Particuliers

    Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul :

    $$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$

    Cas particuliers :

    • $a^1 = a$
    • $a^0 = 1$ (avec $a \neq 0$)
    • $0^n = 0$ (avec $n > 0$)
    • $1^n = 1$

    Puissance à exposant négatif :

    $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{et} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

    - $3^2 = 3 \times 3 = \mathbf{9}$
    - $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = \mathbf{-8}$
    - $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = \mathbf{0,04}$
    - $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = \mathbf{2,25}$
    2. Propriétés des Puissances

    Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls, et $n$ et $m$ deux entiers relatifs :

    Produit de même base

    $a^n \times a^m = a^{n+m}$

    Quotient de même base

    $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

    Puissance d'une puissance

    $(a^n)^m = a^{n \times m}$

    Produit de même exposant

    $a^n \times b^n = (a \times b)^n$

    Quotient de même exposant

    $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$
    - $x^3 \times x^5 = x^{3+5} = \mathbf{x^8}$
    - $\frac{7^{10}}{7^4} = 7^{10-4} = \mathbf{7^6}$
    - $(10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = \mathbf{10^6}$
    - $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = \mathbf{1000}$
    3. Notation Scientifique

    La notation scientifique d'un nombre décimal est l'écriture de la forme :

    $$a \times 10^n$$

    Où $1 \leq a < 10$ (un seul chiffre avant la virgule, non nul)
    et $n$ est un entier relatif.

    - $17500 = \mathbf{1,75 \times 10^4}$
    - $0,00042 = \mathbf{4,2 \times 10^{-4}}$
    - $58,9 \times 10^2 = 5,89 \times 10^1 \times 10^2 = \mathbf{5,89 \times 10^3}$