Les Puissances
Cours Complet - Niveau 3ème Année Collège
1. Définition et Cas Particuliers
Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul :
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$
Cas particuliers :
- $a^1 = a$
- $a^0 = 1$ (avec $a \neq 0$)
- $0^n = 0$ (avec $n > 0$)
- $1^n = 1$
Puissance à exposant négatif :
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{et} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
- $3^2 = 3 \times 3 = \mathbf{9}$
- $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = \mathbf{-8}$
- $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = \mathbf{0,04}$
- $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = \mathbf{2,25}$
- $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = \mathbf{-8}$
- $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = \mathbf{0,04}$
- $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = \mathbf{2,25}$
2. Propriétés des Puissances
Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls, et $n$ et $m$ deux entiers relatifs :
Produit de même base
$a^n \times a^m = a^{n+m}$Quotient de même base
$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$Puissance d'une puissance
$(a^n)^m = a^{n \times m}$Produit de même exposant
$a^n \times b^n = (a \times b)^n$Quotient de même exposant
$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$
- $x^3 \times x^5 = x^{3+5} = \mathbf{x^8}$
- $\frac{7^{10}}{7^4} = 7^{10-4} = \mathbf{7^6}$
- $(10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = \mathbf{10^6}$
- $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = \mathbf{1000}$
- $\frac{7^{10}}{7^4} = 7^{10-4} = \mathbf{7^6}$
- $(10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = \mathbf{10^6}$
- $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = \mathbf{1000}$
3. Notation Scientifique
La notation scientifique d'un nombre décimal est l'écriture de la forme :
$$a \times 10^n$$
Où $1 \leq a < 10$ (un seul chiffre avant la virgule, non nul)
et $n$ est un entier relatif.
- $17500 = \mathbf{1,75 \times 10^4}$
- $0,00042 = \mathbf{4,2 \times 10^{-4}}$
- $58,9 \times 10^2 = 5,89 \times 10^1 \times 10^2 = \mathbf{5,89 \times 10^3}$
- $0,00042 = \mathbf{4,2 \times 10^{-4}}$
- $58,9 \times 10^2 = 5,89 \times 10^1 \times 10^2 = \mathbf{5,89 \times 10^3}$