Les Puissances d'un nombre rationnel
Définition, Règles de calcul et Notation scientifique (2AC)
Le concept de puissance permet d'écrire de manière simplifiée un produit de plusieurs facteurs identiques. C'est un outil indispensable pour manipuler les nombres très grands ou très petits.
1. Définition et notations
Soit $a$ un nombre rationnel et $n$ un entier naturel supérieur à 1. La puissance de $a$ d'exposant $n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$
Cas particuliers : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (si $a \neq 0$)
Calculer : $A = \left(\frac{2}{3}\right)^2$ et $B = (-5)^3$
Solution :$B = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = \mathbf{-125}$
2. Le signe d'une puissance
Pour une puissance d'un nombre négatif $(-a)^n$ :
- Si l'exposant $n$ est pair, la puissance est positive.
- Si l'exposant $n$ est impair, la puissance est négative.
Déterminer le signe de : $C = (-1,5)^4$ et $D = \left(-\frac{1}{2}\right)^7$
Solution :- Pour $D$, l'exposant $7$ est impair, donc $D$ est négatif ($-$).
3. Puissance à exposant négatif
La puissance d'un nombre rationnel avec un exposant négatif est égale à l'inverse de ce nombre avec un exposant positif.
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{et} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
Calculer : $E = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$
Solution :$E = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = \mathbf{\frac{4}{9}}$
4. Propriétés des puissances
Soient $a$ et $b$ deux rationnels, $n$ et $m$ deux entiers relatifs :
- Produit de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- Puissance de puissance : $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- Produit de même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$
- Quotient de même base : $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Écrire sous forme d'une seule puissance : $F = 5^3 \times 5^4$ et $G = \frac{7^8}{7^5}$
Solution :$G = 7^{8-5} = \mathbf{7^3}$
5. Notation scientifique
La notation scientifique d'un nombre décimal est de la forme $a \times 10^n$, où $1 \leq a < 10$ (un seul chiffre avant la virgule, autre que zéro).
Donner la notation scientifique de : $47000$ et $0,00025$
Solution :$0,00025 = \mathbf{2,5 \times 10^{-4}}$
⭐ Résumé des points clés :
- Signe : Un exposant pair rend toujours le résultat positif.
- Exposant négatif : On inverse la base pour changer le signe de l'exposant.
- Priorité : Dans un calcul, on effectue les puissances avant les multiplications et les additions.