Les Racines Carrées
Cours Complet - Niveau 3ème Année Collège
1. Définition
La racine carrée d'un nombre réel positif $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On le note $\sqrt{a}$.
$$(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{et} \quad \sqrt{a^2} = a \quad (a \geq 0)$$
Attention : La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas ! ($\sqrt{-4}$ est impossible).
- $\sqrt{25} = \sqrt{5^2} = \mathbf{5}$
- $\sqrt{0} = \mathbf{0}$
- $\sqrt{1} = \mathbf{1}$
- $(\sqrt{7})^2 = \mathbf{7}$
- $\sqrt{0} = \mathbf{0}$
- $\sqrt{1} = \mathbf{1}$
- $(\sqrt{7})^2 = \mathbf{7}$
2. Propriétés des Racines Carrées
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs :
Multiplication
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$
Division ($b \neq 0$)
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$
ERREUR À ÉVITER :
$\sqrt{a + b}$ n'est PAS égal à $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ !
Exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$.
$\sqrt{a + b}$ n'est PAS égal à $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ !
Exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$.
- $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = \mathbf{4}$
- $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$
- $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$
- $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$
- $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$
3. Supprimer la racine au dénominateur
Cas 1 : Dénominateur simple
On multiplie le haut et le bas par la même racine :
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$
Cas 2 : Utilisation du conjugué
On utilise l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$
- $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
- $\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \mathbf{\sqrt{5}+2}$
- $\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \mathbf{\sqrt{5}+2}$
4. Équation du type $x^2 = a$
Soit $a$ un nombre réel :
- Si $a > 0$ : L'équation a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
- Si $a = 0$ : L'équation a une seule solution : $0$.
- Si $a < 0$ : L'équation n'a aucune solution réelle.
- $x^2 = 9 \implies x = \sqrt{9}$ ou $x = -\sqrt{9} \implies \mathbf{S = \{3 ; -3\}}$
- $x^2 = 7 \implies \mathbf{S = \{\sqrt{7} ; -\sqrt{7}\}}$
- $x^2 = -5 \implies \mathbf{\text{Pas de solution}}$
- $x^2 = 7 \implies \mathbf{S = \{\sqrt{7} ; -\sqrt{7}\}}$
- $x^2 = -5 \implies \mathbf{\text{Pas de solution}}$