2emeBAC : Les Suites Numériques

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جدول المحتويات

    Les Suites Numériques

    Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

    I. Rappels : Suites usuelles

    1. Suite Arithmétique

    Définition : \( u_{n+1} = u_n + r \)

    Terme général : \( u_n = u_p + (n-p)r \)

    Somme : \( S_n = \frac{(n-p+1)}{2}(u_p + u_n) \)

    2. Suite Géométrique

    Définition : \( u_{n+1} = q \cdot u_n \)

    Terme général : \( u_n = u_p \cdot q^{n-p} \)

    Somme : \( S_n = u_p \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \) (si \( q \neq 1 \))

    II. Limite et Convergence

    Une suite \( (u_n) \) est dite convergente si elle admet une limite finie \( l \). Sinon, elle est dite divergente.

    Théorèmes fondamentaux :

    • Toute suite croissante et majorée est convergente.
    • Toute suite décroissante et minorée est convergente.

    Limite de \( q^n \) :

    \[ \text{Si } |q| < 1 \implies \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \] \[ \text{Si } q = 1 \implies \lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \] \[ \text{Si } q > 1 \implies \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \]

    III. Suites de type \( u_{n+1} = f(u_n) \)

    C'est le type le plus courant au Baccalauréat. Si :

    1. \( f \) est continue sur un intervalle \( I \).
    2. \( f(I) \subset I \).
    3. \( u_0 \in I \).
    4. La suite \( (u_n) \) est convergente vers \( l \).

    Alors la limite \( l \) est solution de l'équation : \( f(l) = l \).

    📝 Exercice d'application :

    Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1 \).

    1. Montrer par récurrence que \( u_n < 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

    2. Étudier la monotonie de la suite.

    3. En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.

    Indication pour la limite :
    La suite est convergente car elle est croissante et majorée. La limite \( l \) vérifie :
    \[ l = \frac{1}{2}l + 1 \implies \frac{1}{2}l = 1 \implies l = 2 \]

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