Systèmes de deux Équations
Méthodes de résolution et Problèmes (3AC)
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme :
$$ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} $$
Résoudre ce système, c'est trouver le couple $(x ; y)$ qui vérifie les deux équations en même temps.
La Substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans la seconde.
1. Dans (1), on a : $x = 5 - y$.
2. On remplace $x$ dans (2) : $2(5 - y) - y = 1$
$10 - 2y - y = 1 \implies 10 - 3y = 1 \implies -3y = -9 \implies \mathbf{y = 3}$.
3. On calcule $x$ : $x = 5 - 3 = \mathbf{2}$.
Le couple solution est (2 ; 3).
La Combinaison Linéaire
On multiplie les équations par des nombres pour éliminer une inconnue en additionnant les deux lignes.
1. On additionne (1) et (2) directement car les coefficients de $y$ sont opposés ($2$ et $-2$) :
$(3x + 5x) + (2y - 2y) = 12 + 4$
$8x = 16 \implies \mathbf{x = 2}$.
2. On remplace $x=2$ dans (1) : $3(2) + 2y = 12$
$6 + 2y = 12 \implies 2y = 6 \implies \mathbf{y = 3}$.
Le couple solution est (2 ; 3).
Chaque équation du système correspond à une droite. La solution du système est le point d'intersection des deux droites.
Pour résoudre un problème avec un système, on suit 5 étapes :
1. Inconnues : Soit $x$ le prix du café et $y$ le prix du jus.
2. Système : $ \begin{cases} 2x + y = 30 \\ x + 2y = 45 \end{cases} $
3. Résolution : En résolvant, on trouve $x = 5$ et $y = 20$.
4. Conclusion : Le café coûte 5 DH et le jus coûte 20 DH.