Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, du Préscolaire et des Sports
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Limites et Dérivation
I. Les Limites
1. Définition
On dit que la fonction f(x) admet une limite L lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) se rapprochent de L.
limx→a f(x) = L
2. Propriétés des limites
- limx→a (f(x)+g(x)) = L + M
- limx→a (k·f(x)) = k·L
- limx→a (xn) = an
3. Exemple
Calculer : limx→2 (x² + 3x)
Solution : 2² + 3×2 = 4 + 6 = 10
Solution : 2² + 3×2 = 4 + 6 = 10
II. La Dérivation
1. Définition
La dérivée d’une fonction f(x), notée f'(x), représente le taux de variation de la fonction ou la pente de la tangente.
2. Dérivées usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n·xn−1 |
| ax + b | a |
3. Exemple
Soit f(x)=3x²+2x−5
f'(x)=6x+2
f'(x)=6x+2
III. Étude des variations
- Si f'(x) > 0, la fonction est croissante.
- Si f'(x) < 0, la fonction est décroissante.
- Si f'(x) = 0, x est un point critique.
Exercice d’application
Soit f(x)=x²−4x+3
f'(x)=2x−4 = 0 ⇒ x = 2
f'(x)=2x−4 = 0 ⇒ x = 2
Conclusion
Les limites permettent d’étudier le comportement d’une fonction,
tandis que la dérivation permet d’analyser ses variations.
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