I. Rappels sur les Limites
Le calcul des limites est essentiel pour étudier le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine de définition.
1. Formes Indéterminées (F.I)
Il existe 4 formes indéterminées classiques :
" \( \frac{0}{0} \) " , " \( \frac{\infty}{\infty} \) " , " \( 0 \times \infty \) " , " \( +\infty - \infty \) "
2. Limites Usuelles
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \]
II. Dérivabilité d'une fonction
1. Dérivabilité en un point \( x_0 \)
Une fonction \( f \) est dérivable en \( x_0 \) si la limite suivante existe et est finie :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \]
2. Interprétation Géométrique
Si \( f \) est dérivable en \( x_0 \), alors la courbe \( \mathcal{C}_f \) admet une tangente au point \( A(x_0, f(x_0)) \) d'équation :
\[ (T): y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \]
III. Tableau des Dérivées Usuelles
📝 Exercice d'application :
Soit la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \).
1. Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x_0 = 1 \).
2. Déterminer l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d'abscisse 1.
Correction rapide :
1. \( f'(x) = 2x - 3 \). Donc \( f'(1) = 2(1) - 3 = -1 \). La fonction est dérivable en 1.
2. \( f(1) = 1^2 - 3(1) + 2 = 0 \).
L'équation est : \( y = f'(1)(x - 1) + f(1) \)
\( y = -1(x - 1) + 0 \implies y = -x + 1 \).
1. \( f'(x) = 2x - 3 \). Donc \( f'(1) = 2(1) - 3 = -1 \). La fonction est dérivable en 1.
2. \( f(1) = 1^2 - 3(1) + 2 = 0 \).
L'équation est : \( y = f'(1)(x - 1) + f(1) \)
\( y = -1(x - 1) + 0 \implies y = -x + 1 \).
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