Ordre et Opérations
Comparer, Encadrer et Maîtriser les Inégalités (3AC)
1. Comparer deux nombres (La Différence)
Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$, on étudie le signe de leur différence $a - b$.
Si $a - b \leq 0$
Alors $a \leq b$
Si $a - b \geq 0$
Alors $a \geq b$
Énoncé : Comparer $2\sqrt{3}$ et $3\sqrt{2}$.
Rédaction :
$(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$
Puisque $12 < 18$, alors $(2\sqrt{3})^2 < (3\sqrt{2})^2$.
Comme les nombres sont positifs, alors $\mathbf{2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}}$.
Rédaction :
$(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$
Puisque $12 < 18$, alors $(2\sqrt{3})^2 < (3\sqrt{2})^2$.
Comme les nombres sont positifs, alors $\mathbf{2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}}$.
2. Propriétés des Inégalités
A. Addition et Soustraction
L'ordre ne change jamais quand on ajoute ou soustrait un même nombre :
Si $a \leq b$, alors $a + c \leq b + c$
B. Multiplication et Division
ATTENTION AU SIGNE :
- Si on multiplie par un nombre positif ($c > 0$) : l'ordre ne change pas.
- Si on multiplie par un nombre négatif ($c < 0$) : l'ordre S'INVERSE.
Multiplication par $c > 0$
$ac \leq bc$
Multiplication par $c < 0$
$ac \geq bc$
3. L'Encadrement (Opérations)
Soient $a, b, x, y$ des nombres réels tels que $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ :
Addition
$a + c \leq x + y \leq b + d$
Soustraction
On doit faire : $x + (-y)$
Multiplication (si positifs)
$a \times c \leq x \times y \leq b \times d$
Inverse (si positifs)
$\frac{1}{b} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a}$
Énoncé : Encadrer $x - y$ sachant que $2 \leq x \leq 5$ et $3 \leq y \leq 4$.
Rédaction :
1. On encadre d'abord $-y$ :
$3 \leq y \leq 4 \implies -4 \leq -y \leq -3$
2. On additionne $x$ et $(-y)$ :
$(2 + (-4)) \leq x + (-y) \leq (5 + (-3))$
$\mathbf{-2 \leq x - y \leq 2}$.
Rédaction :
1. On encadre d'abord $-y$ :
$3 \leq y \leq 4 \implies -4 \leq -y \leq -3$
2. On additionne $x$ et $(-y)$ :
$(2 + (-4)) \leq x + (-y) \leq (5 + (-3))$
$\mathbf{-2 \leq x - y \leq 2}$.
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