2AC : Ordre et Opérations - Cours

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جدول المحتويات
    Ordre et Opérations - Cours 2AC

    Ordre et Opérations

    Comparer, additionner et multiplier les inégalités

    1. Comparer deux nombres (La Différence)

    Pour comparer deux nombres rationnels $a$ et $b$, on étudie le signe de leur différence $a - b$.

    Si $a - b \le 0$

    Alors $a \le b$

    Si $a - b \ge 0$

    Alors $a \ge b$

    a b Sur l'axe, a est à gauche de b donc a < b

    📝 Exercice d'application :

    Comparer les nombres $x = \frac{3}{4}$ et $y = \frac{5}{6}$ en utilisant la différence.

    Calculons $x - y$ :
    $x - y = \frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{3 \times 3}{12} - \frac{5 \times 2}{12} = \frac{9 - 10}{12} = \mathbf{\frac{-1}{12}}$
    On remarque que $\frac{-1}{12} < 0$.
    Puisque la différence est négative, alors $\mathbf{x < y}$.
    2. Ordre et Addition

    L'ordre ne change pas si on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres d'une inégalité.

    Si $a \le b$, alors :

    $$a + c \le b + c$$

    📝 Exercice d'application :

    Sachant que $x \le 5$, comparer $x + 3$ et $8$.

    On part de l'inégalité : $x \le 5$
    On ajoute $3$ des deux côtés :
    $x + 3 \le 5 + 3$
    Donc $\mathbf{x + 3 \le 8}$.
    3. Ordre et Multiplication

    Ici, tout dépend du signe du nombre par lequel on multiplie.

    Cas 1 : On multiplie par un nombre POSITIF ($c > 0$)

    L'ordre ne change pas.

    Si $a \le b$, alors $ac \le bc$

    Cas 2 : On multiplie par un nombre NÉGATIF ($c < 0$)

    L'ordre CHANGE (on inverse le symbole).

    Si $a \le b$, alors $ac \ge bc$

    📝 Exercice d'application :

    Sachant que $x \le -4$, comparer $-2x$ et $8$.

    On part de $x \le -4$.
    On multiplie par $-2$. Comme $-2$ est négatif, on doit inverser le symbole :
    $-2 \times x \ge -2 \times (-4)$
    Donc $\mathbf{-2x \ge 8}$.