Ordre et Opérations
Comparer, additionner et multiplier les inégalités
Pour comparer deux nombres rationnels $a$ et $b$, on étudie le signe de leur différence $a - b$.
Si $a - b \le 0$
Alors $a \le b$
Si $a - b \ge 0$
Alors $a \ge b$
📝 Exercice d'application :
Comparer les nombres $x = \frac{3}{4}$ et $y = \frac{5}{6}$ en utilisant la différence.
$x - y = \frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{3 \times 3}{12} - \frac{5 \times 2}{12} = \frac{9 - 10}{12} = \mathbf{\frac{-1}{12}}$
On remarque que $\frac{-1}{12} < 0$.
Puisque la différence est négative, alors $\mathbf{x < y}$.
L'ordre ne change pas si on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres d'une inégalité.
Si $a \le b$, alors :
$$a + c \le b + c$$
📝 Exercice d'application :
Sachant que $x \le 5$, comparer $x + 3$ et $8$.
On ajoute $3$ des deux côtés :
$x + 3 \le 5 + 3$
Donc $\mathbf{x + 3 \le 8}$.
Ici, tout dépend du signe du nombre par lequel on multiplie.
Cas 1 : On multiplie par un nombre POSITIF ($c > 0$)
L'ordre ne change pas.
Si $a \le b$, alors $ac \le bc$
Cas 2 : On multiplie par un nombre NÉGATIF ($c < 0$)
L'ordre CHANGE (on inverse le symbole).
Si $a \le b$, alors $ac \ge bc$
📝 Exercice d'application :
Sachant que $x \le -4$, comparer $-2x$ et $8$.
On multiplie par $-2$. Comme $-2$ est négatif, on doit inverser le symbole :
$-2 \times x \ge -2 \times (-4)$
Donc $\mathbf{-2x \ge 8}$.