Probabilités

Niveau : 2ème Année Bac Sciences Physiques (BIOF)

I. Rappels sur le Dénombrement

Le choix de l'outil de dénombrement dépend du type de tirage :

Type de Tirage	L'ordre	Outil
Simultané	Non	Combinaisons \( C_n^p \)
Successif sans remise	Oui	Arrangements \( A_n^p \)
Successif avec remise	Oui	Puissances \( n^p \)

II. Probabilités Conditionnelles

La probabilité de l'événement \( B \) sachant que \( A \) est réalisé est notée \( P_A(B) \) :

\[ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0) \]

Indépendance : Deux événements \( A \) et \( B \) sont indépendants si :

\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)

III. Variables Aléatoires

Une variable aléatoire \( X \) associe un nombre réel à chaque issue de \( \Omega \).

Espérance mathématique : \( E(X) = \sum x_i P(X=x_i) \)
Variance : \( V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \)
Écart-type : \( \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \)

IV. Loi Binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \)

Si on répète \( n \) fois une expérience de Bernoulli (succès avec proba \( p \)) de façon indépendante :

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

📝 Exercice d'application (Bac) :

Une urne contient 3 boules Rouges et 5 boules Bleues. On tire au hasard et simultanément 2 boules.

1. Calculer \( P(A) \) où \( A \) : "Obtenir deux boules de même couleur".

2. Soit \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de \( X \).

Correction rapide :
1. \( \text{card}(\Omega) = C_8^2 = 28 \).
\( \text{card}(A) = C_3^2 + C_5^2 = 3 + 10 = 13 \).
\( P(A) = \frac{13}{28} \).
2. \( X(\Omega) = \{0, 1, 2\} \).
\( P(X=0) = \frac{C_5^2}{28} = \frac{10}{28} \) ; \( P(X=1) = \frac{C_3^1 \times C_5^1}{28} = \frac{15}{28} \) ; \( P(X=2) = \frac{C_3^2}{28} = \frac{3}{28} \).

Pour des exercices corrigés et des astuces pour l'examen national :