Produit Scalaire dans le Plan
Programme Marocain — 1ère Année Baccalauréat Sciences
Le produit scalaire est un outil fondamental de la géométrie analytique. Dans ce cours, nous explorerons ses propriétés et ses applications dans un repère orthonormé.
I. Expression analytique
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, soient $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$
Norme d'un vecteur :
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Distance entre deux points :
$$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
II. Droite et Vecteur Normal
Une droite $(D)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ passant par $A(x_A, y_A)$ est définie par :
Équation Cartésienne
$$ax + by + c = 0$$
Où $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à la droite.
III. Équation du Cercle
Par centre et rayon :
Centre $\Omega(a, b)$ et rayon $R$ :
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$
Par diamètre [AB] :
Tout point $M(x, y)$ tel que :
$$(x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0$$
Calculateur Interactif
Vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs
Résultat :
0
Vecteurs Orthogonaux (⊥)