Produit Scalaire dans le Plan

Programme Marocain — 1ère Année Baccalauréat Sciences

Le produit scalaire est un outil fondamental de la géométrie analytique. Dans ce cours, nous explorerons ses propriétés et ses applications dans un repère orthonormé.

I. Expression analytique

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, soient $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$.

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$

Norme d'un vecteur :

$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Distance entre deux points :

$$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$

II. Droite et Vecteur Normal

Une droite $(D)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ passant par $A(x_A, y_A)$ est définie par :

Équation Cartésienne

$$ax + by + c = 0$$

Où $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à la droite.

III. Équation du Cercle

Par centre et rayon :

Centre $\Omega(a, b)$ et rayon $R$ :

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$

Par diamètre [AB] :

Tout point $M(x, y)$ tel que :

$$(x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0$$

Calculateur Interactif

Vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs

u.x

u.y

v.x

v.y

Résultat :

Vecteurs Orthogonaux (⊥)

1ereBAC : Produit Scalaire dans le Plan