Repère dans le Plan
Coordonnées, Vecteurs et Distances (3AC)
1. Le Repère Orthonormé
Un repère $(O, I, J)$ est dit orthonormé si les axes sont perpendiculaires et si les unités de longueur sont égales ($OI = OJ = 1$).
Tout point $A$ est repéré par son abscisse $x_A$ et son ordonnée $y_A$. On écrit $A(x_A ; y_A)$.
2. Coordonnées du vecteur $\vec{AB}$
Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points du plan :
$$\vec{AB} (x_B - x_A \space ; \space y_B - y_A)$$
Énoncé : Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ avec $A(1 ; 4)$ et $B(5 ; 2)$.
Rédaction :
$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 5 - 1 = 4$
$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 2 - 4 = -2$
Donc : $\vec{AB}(4 ; -2)$.
Rédaction :
$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 5 - 1 = 4$
$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 2 - 4 = -2$
Donc : $\vec{AB}(4 ; -2)$.
3. Coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$
Le milieu $M$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des extrémités :
$$M \left( \frac{x_A + x_B}{2} \space ; \space \frac{y_A + y_B}{2} \right)$$
Énoncé : Trouver le milieu $M$ de $[AB]$ avec $A(-2 ; 3)$ et $B(4 ; 7)$.
Rédaction :
$x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_M = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Donc : $M(1 ; 5)$.
Rédaction :
$x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_M = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Donc : $M(1 ; 5)$.
4. Distance $AB$ (Norme du vecteur)
Dans un repère orthonormé, la distance $AB$ se calcule avec la formule :
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
Énoncé : Calculer $AB$ avec $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$.
Rédaction :
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
Donc : $AB = 5$.
Rédaction :
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
Donc : $AB = 5$.
Commentaires
Publier un commentaire