المملكة المغربية
أكاديمية التميز والابتكار
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان النخبة الذهبية
الترتيب والعمليات - المستوى الأقصى
GOLDEN OLIMPIAD LEVELالمستوى: الثانية إعدادي
الموسم: 2026 / 2025
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: تقنيات المقارنة (تفكير نقدي)
6 ن
1) بدون استخدام الآلة الحاسبة، قارن العددين التاليين مع التعليل:
\( A = \sqrt{17} - \sqrt{15} \) and \( B = \sqrt{15} - \sqrt{13} \)
كشف سر الحل (تقنية المرافق المزدوج)
- نضرب كل عدد في مرافقه ونقسم عليه:
\( A = \frac{(\sqrt{17}-\sqrt{15})(\sqrt{17}+\sqrt{15})}{\sqrt{17}+\sqrt{15}} = \frac{17-15}{\sqrt{17}+\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{15}} \)
\( B = \frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} = \frac{15-13}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} \)
- نلاحظ أن مقام \( A \) أكبر من مقام \( B \)، إذن الكسر \( A \) أصغر من الكسر \( B \).
- النتيجة: **\( A < B \)**.
\( A = \frac{(\sqrt{17}-\sqrt{15})(\sqrt{17}+\sqrt{15})}{\sqrt{17}+\sqrt{15}} = \frac{17-15}{\sqrt{17}+\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{15}} \)
\( B = \frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} = \frac{15-13}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} \)
- نلاحظ أن مقام \( A \) أكبر من مقام \( B \)، إذن الكسر \( A \) أصغر من الكسر \( B \).
- النتيجة: **\( A < B \)**.
2) ليكن \( x > 0 \). قارن التعبيرين التاليين:
\( \frac{x+1}{x+2} \) and \( \frac{x+3}{x+4} \)
كشف الحل (دراسة إشارة الفرق)
- نحسب الفرق: \( \frac{x+1}{x+2} - \frac{x+3}{x+4} = \frac{(x+1)(x+4) - (x+3)(x+2)}{(x+2)(x+4)} \)
- ننشر البسط: \( (x^2+5x+4) - (x^2+5x+6) = -2 \)
- بما أن الفرق \( \frac{-2}{(x+2)(x+4)} \) سالب دائماً، فإن:
**\( \frac{x+1}{x+2} < \frac{x+3}{x+4} \)**.
- ننشر البسط: \( (x^2+5x+4) - (x^2+5x+6) = -2 \)
- بما أن الفرق \( \frac{-2}{(x+2)(x+4)} \) سالب دائماً، فإن:
**\( \frac{x+1}{x+2} < \frac{x+3}{x+4} \)**.
التمرين الثاني: التأطير المركب (Encadrement)
7 ن
ليكن \( x \) و \( y \) عددين بحيث: \( -3 \le x \le -1 \) و \( 2 \le y \le 4 \).
أطّر (Encadrer) التعبيرات التالية بأقصى قدر من الدقة:
\( x^2 - y^2 \)
الحل (فخ المربعات)
- تأطير \( x^2 \): بما أن \( x \) سالب، فإن \( (-1)^2 \le x^2 \le (-3)^2 \implies 1 \le x^2 \le 9 \).
- تأطير \( y^2 \): \( 4 \le y^2 \le 16 \).
- تأطير \( -y^2 \): \( -16 \le -y^2 \le -4 \).
- نجمع: \( 1-16 \le x^2-y^2 \le 9-4 \).
- النتيجة: **\( -15 \le x^2-y^2 \le 5 \)**.
- تأطير \( y^2 \): \( 4 \le y^2 \le 16 \).
- تأطير \( -y^2 \): \( -16 \le -y^2 \le -4 \).
- نجمع: \( 1-16 \le x^2-y^2 \le 9-4 \).
- النتيجة: **\( -15 \le x^2-y^2 \le 5 \)**.
\( \frac{x+y}{y} \)
الحل (تفكيك الكسر)
- الطريقة الذكية: \( \frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + 1 \).
- نؤطر \( \frac{1}{y} \): \( \frac{1}{4} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{2} \).
- نؤطر \( \frac{x}{y} \): نضرب \( x \) السالب في مقلوب \( y \) الموجب (يتغير الترتيب):
\( -3 \times \frac{1}{2} \le \frac{x}{y} \le -1 \times \frac{1}{4} \implies -1.5 \le \frac{x}{y} \le -0.25 \).
- نضيف 1: **\( -0.5 \le \frac{x+y}{y} \le 0.75 \)**.
- نؤطر \( \frac{1}{y} \): \( \frac{1}{4} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{2} \).
- نؤطر \( \frac{x}{y} \): نضرب \( x \) السالب في مقلوب \( y \) الموجب (يتغير الترتيب):
\( -3 \times \frac{1}{2} \le \frac{x}{y} \le -1 \times \frac{1}{4} \implies -1.5 \le \frac{x}{y} \le -0.25 \).
- نضيف 1: **\( -0.5 \le \frac{x+y}{y} \le 0.75 \)**.
التمرين الثالث: الاستدلال والبرهنة
7 ن
1) برهن أنه مهما كان العددين الجذريين الموجبين قطعا \( a \) و \( b \)، فإن:
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \)
كشف البرهان العبقري
- ندرس إشارة الفرق: \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \)
- نلاحظ أن البسط متطابقة هامة: \( \frac{(a-b)^2}{ab} \)
- بما أن المربع \( (a-b)^2 \ge 0 \) والمقام \( ab > 0 \)، فإن التعبير موجب أو منعدم.
- إذن: **\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \)**. (تتحقق المساواة إذا كان \( a=b \)).
- نلاحظ أن البسط متطابقة هامة: \( \frac{(a-b)^2}{ab} \)
- بما أن المربع \( (a-b)^2 \ge 0 \) والمقام \( ab > 0 \)، فإن التعبير موجب أو منعدم.
- إذن: **\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \)**. (تتحقق المساواة إذا كان \( a=b \)).
2) إذا كان \( a < b \)، قارن \( a \) و المعدل الحسابي \( \frac{a+b}{2} \):
كشف الحل
- نحسب الفرق: \( a - \frac{a+b}{2} = \frac{2a - (a+b)}{2} = \frac{a-b}{2} \)
- بما أن \( a < b \)، فإن \( a-b \) سالب.
- إذن: **\( a < \frac{a+b}{2} \)**. (المعدل دائماً يقع بين العددين).
- بما أن \( a < b \)، فإن \( a-b \) سالب.
- إذن: **\( a < \frac{a+b}{2} \)**. (المعدل دائماً يقع بين العددين).
Commentaires
Publier un commentaire