المملكة المغربية
إعدادية التميز والابتكار
المادة: الرياضيات (BIOF)
امتحان التميز
الجذور التربيعية - المستوى الرفيع
FOR EXCELLENT STUDENTS ONLYالمستوى: الثالثة إعدادي
الموسم: 2025 / 2026
المدة: 1 ساعة
التمرين الأول: الحساب والتبسيط المتقدم
7 ن
1) بسط التعبير \( X \) إلى أقصى حد (Simplifier au maximum) :
\( X = \sqrt{27} - 2\sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{3} \)
كشف خطوات الحل
\( X = \sqrt{9 \times 3} - 2\sqrt{16 \times 3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{3} \)
\( X = 3\sqrt{3} - (2 \times 4)\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \sqrt{3} \)
\( X = 3\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = (3 - 8 + 5 - 1)\sqrt{3} \)
إذن: **\( X = -\sqrt{3} \)**
\( X = 3\sqrt{3} - (2 \times 4)\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \sqrt{3} \)
\( X = 3\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = (3 - 8 + 5 - 1)\sqrt{3} \)
إذن: **\( X = -\sqrt{3} \)**
2) احسب بذكاء التعبير \( Y \) :
\( Y = \sqrt{4 + \sqrt{7}} \times \sqrt{4 - \sqrt{7}} \)
كشف سر الحل (المتطابقة 3)
- نجمع الجذرين في جذر واحد: \( \sqrt{(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})} \)
- نطبق المتطابقة الثالثة: \( \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{16 - 7} \)
- النتيجة: \( \sqrt{9} = 3 \).
إذن: **\( Y = 3 \)**
- نطبق المتطابقة الثالثة: \( \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{16 - 7} \)
- النتيجة: \( \sqrt{9} = 3 \).
إذن: **\( Y = 3 \)**
التمرين الثاني: تقنيات إزالة الجذر من المقام
5 ن
اجعل مقام الأعداد التالية عدداً جذرياً وبسط النتيجة:
\( Z = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)
كشف الحل (توحيد المقام بالمرافق)
- نوحد المقام (الذي هو جداء المترافقين):
\( Z = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} \)
- المقام يصبح: \( (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 \)
- البسط يصبح: \( \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
إذن: **\( Z = 2\sqrt{2} \)**
\( Z = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} \)
- المقام يصبح: \( (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 \)
- البسط يصبح: \( \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
إذن: **\( Z = 2\sqrt{2} \)**
التمرين الثالث: المعادلات والبحث عن المجهول
4 ن
حل المعادلة التالية (Résoudre l'équation) :
\( x^2 = 7 - 4\sqrt{3} \)
كشف فكرة الحل (تحويل الطرف لمتطابقة)
- نلاحظ أن: \( 7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \)
- إذن: \( 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2 \)
- المعادلة تصبح: \( x^2 = (2 - \sqrt{3})^2 \)
- الحلول هي: **\( x = 2 - \sqrt{3} \)** أو **\( x = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2 \)**.
- إذن: \( 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2 \)
- المعادلة تصبح: \( x^2 = (2 - \sqrt{3})^2 \)
- الحلول هي: **\( x = 2 - \sqrt{3} \)** أو **\( x = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2 \)**.
التمرين الرابع: المقارنة والاستدلال
4 ن
بدون استخدام الآلة الحاسبة، قارن بين العددين التاليين مع التعليل:
\( A = \sqrt{11} - \sqrt{10} \) و \( B = \sqrt{10} - \sqrt{9} \)
كشف طريقة المقارنة (استخدام المرافق)
- نضرب كل عدد في مرافقه ونقسم عليه:
\( A = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{10})(\sqrt{11} + \sqrt{10})}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} = \frac{11 - 10}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} \)
\( B = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{9})(\sqrt{10} + \sqrt{9})}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} = \frac{10 - 9}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} \)
- نلاحظ أن مقام \( A \) أكبر من مقام \( B \)، إذن كسر \( A \) أصغر من كسر \( B \).
- النتيجة: **\( A < B \)**.
\( A = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{10})(\sqrt{11} + \sqrt{10})}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} = \frac{11 - 10}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} \)
\( B = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{9})(\sqrt{10} + \sqrt{9})}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} = \frac{10 - 9}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} \)
- نلاحظ أن مقام \( A \) أكبر من مقام \( B \)، إذن كسر \( A \) أصغر من كسر \( B \).
- النتيجة: **\( A < B \)**.
"الرياضيات ليست مجرد أرقام، بل هي فن التفكير المنطقي."
Content by @sakwilatop - Academy of Excellence
Commentaires
Publier un commentaire