1erBAC : Continuité & Dérivabilité - Série 20 Exercices

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جدول المحتويات
    Série 20 Exercices : Continuité & Dérivabilité - @sakwilatop WhatsApp : +212 660 062 611
    Exercice 01 : Continuité en un point

    Soit $f$ définie par : $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ si $x \neq 2$ et $f(2) = 4$. Étudier la continuité de $f$ en 2.

    $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
    Comme $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$, alors $f$ est continue en 2.
    Exercice 02 : Paramètre de continuité

    Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 0 : $f(x) = \frac{\sin(ax)}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 3$.

    $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = \lim_{x \to 0} a \frac{\sin(ax)}{ax} = a \times 1 = a$.
    Pour que $f$ soit continue, il faut que $a = f(0) = 3$. Donc $a=3$.
    Exercice 03 : Continuité à gauche/droite

    Soit $f(x) = |x-1|$. Étudier la continuité de $f$ en 1.

    $f(1) = 0$.
    $\lim_{x \to 1^+} |x-1| = 0$ et $\lim_{x \to 1^-} |x-1| = 0$.
    Les limites à gauche et à droite sont égales à $f(1)$, donc $f$ est continue en 1.
    Exercice 04 : Prolongement par continuité

    Soit $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$. Peut-on prolonger $g$ par continuité en 0 ?

    $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2}$.
    Oui, on peut prolonger $g$ en posant $g(0) = 1/2$.
    Exercice 05 : TVI (Existence)

    Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$.

    Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.
    $f$ est continue sur $[0, 1]$.
    $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$.
    Comme $f(0) \times f(1) < 0$, daprès le TVI, il existe $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
    Exercice 06 : Dérivabilité en un point

    Étudier la dérivabilité de $f(x) = x^2$ en $x_0 = 2$.

    $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
    La limite est finie (4), donc $f$ est dérivable en 2 et $f'(2)=4$.
    Exercice 07 : Équation de la tangente

    Donner l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 pour $f(x) = \frac{1}{x}$.

    $f(1) = 1$. $f'(x) = -1/x^2 \implies f'(1) = -1$.
    $(T): y = f'(1)(x-1) + f(1) = -1(x-1) + 1 = -x + 2$.
    Exercice 08 : Dérivée d'une fonction composée

    Calculer la dérivée de $f(x) = (3x^2 + 1)^5$.

    Formule: $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$.
    $u = 3x^2+1 \implies u' = 6x$.
    $f'(x) = 5 \cdot (6x) \cdot (3x^2+1)^4 = 30x(3x^2+1)^4$.
    Exercice 09 : Dérivabilité et valeur absolue

    Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x|$ en 0.

    $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|-0}{x-0} = 1$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|-0}{x-0} = -1$.
    Les dérivées à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ n'est pas dérivable en 0.
    Exercice 10 : TVI (Unicité)

    Montrer que $x^3+x-1=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

    $f(x) = x^3+x-1$. $f'(x) = 3x^2+1 > 0$.
    $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
    D'après le TVI (bijection), l'équation admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}$.
    Exercice 11 : Dérivée de la racine

    Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \sqrt{x^2+x+1}$.

    Formule: $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
    $u = x^2+x+1 \implies u' = 2x+1$.
    $f'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$.
    Exercice 12 : Continuité d'une fonction composée

    Étudier la continuité de $h(x) = \cos(\frac{1}{x})$ en tout point $x \neq 0$.

    $x \mapsto 1/x$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
    $X \mapsto \cos(X)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
    Par composition, $h$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
    Exercice 13 : Dérivée du produit

    Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = x^2 \sin(x)$.

    $(uv)' = u'v + uv'$.
    $f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$.
    Exercice 14 : TVI et signe

    Soit $f(x) = x^2-3$. Montrer que $f(x)=0$ a une solution dans $[1, 2]$.

    $f(1) = -2$ and $f(2) = 1$.
    $f$ est continue sur $[1, 2]$ and $f(1) \times f(2) < 0$.
    D'après le TVI, il existe $\alpha \in ]1, 2[$ tel que $f(\alpha)=0$.
    Exercice 15 : Dérivée du quotient

    Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$.

    $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
    $f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$.
    Exercice 16 : Points critiques

    Trouver les points où la tangente à $f(x)=x^2-4x$ est horizontale.

    Tangente horizontale $\iff f'(x) = 0$.
    $f'(x) = 2x - 4$.
    $2x - 4 = 0 \implies x = 2$. Le point est $(2, -4)$.
    Exercice 17 : Continuité et fraction

    Étudier la continuité de $f(x) = \frac{x}{x^2-1}$ sur $\mathbb{R}$.

    $f$ est une fonction rationnelle.
    Elle est continue sur son domaine de définition $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.
    Exercice 18 : Dérivée seconde

    Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$.

    $f'(x) = 4x^3 - 4x$.
    $f''(x) = 12x^2 - 4$.
    Exercice 19 : Limite trigonométrique

    Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}$.

    C'est une limite usuelle: $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$.
    Exercice 20 : Bijection

    Soit $f(x) = x^2$ sur $[0, +\infty[$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque.

    $f$ est continue sur $[0, +\infty[$.
    $f'(x) = 2x > 0$ sur $]0, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante.
    D'après le théorème de la bijection, $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

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