Série 20 Exercices : Suites Numériques - @sakwilatop
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Série Complète : 20 Exercices Corrigés
Préparation aux devoirs - @sakwilatop
Exercice 01
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3n + 2$. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_{10}$.
$$u_0 = 3(0) + 2 = 2$$
$$u_1 = 3(1) + 2 = 5$$
$$u_{10} = 3(10) + 2 = 32$$
Exercice 02
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$$u_1 = 2u_0 - 1 = 2(2) - 1 = 3$$
$$u_2 = 2u_1 - 1 = 2(3) - 1 = 5$$
Exercice 03
Étudier la monotonie de la suite $u_n = \frac{n+1}{n+2}$.
On calcule $u_{n+1} - u_n$:
$$\frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$$
$$= \frac{n^2+4n+4 - (n^2+4n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{1}{(n+3)(n+2)} > 0$$
La suite est donc strictement croissante.
Exercice 04
Montrer que $u_n = 5n - 1$ est une suite arithmétique et donner sa raison $r$.
$$u_{n+1} - u_n = (5(n+1)-1) - (5n-1) = 5n+5-1-5n+1 = 5$$
La suite est arithmétique de raison $r=5$.
Exercice 05
Soit $(u_n)$ arithmétique avec $r=2$ et $u_4 = 15$. Calculer $u_0$.
Formule : $u_n = u_0 + nr$
$$u_4 = u_0 + 4(2) \implies 15 = u_0 + 8 \implies u_0 = 7$$
Exercice 06
Calculer la somme : $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$.
Suite arithmétique de 100 termes :
$$S = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50 \times 101 = 5050$$
Exercice 07
Montrer que $v_n = 4 \times 2^n$ est une suite géométrique.
$$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{4 \times 2^{n+1}}{4 \times 2^n} = 2$$
La suite est géométrique de raison $q=2$.
Exercice 08
Soit $(v_n)$ géométrique avec $q=3$ et $v_0 = 5$. Calculer $v_4$.
$$v_4 = v_0 \times q^4 = 5 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405$$
Exercice 09
Calculer la somme : $S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^7$.
Nombre de termes = 8.
$$S = 1 \times \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = \frac{1 - 256}{-1} = 255$$
Exercice 10
Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N} : 2^n > n$.
1. Initialisation : Pour $n=0$, $2^0=1 > 0$ (Vrai).
2. Hérédité : Supposons $2^n > n$.
$2^{n+1} = 2 \times 2^n > 2n$. Or pour $n \geq 1$, $2n \geq n+1$.
Donc $2^{n+1} > n+1$.
Exercice 11
Montrer أن $u_n = \frac{3n+1}{n+1}$ مكبورة بـ 3.
$$u_n - 3 = \frac{3n+1 - 3(n+1)}{n+1} = \frac{-2}{n+1} < 0$$
Donc $u_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exercice 12
Étudier la monotonie de $u_n = 2^n - n$.
$u_{n+1}-u_n = 2^{n+1}-(n+1) - (2^n-n) = 2^n - 1$.
Comme $2^n \geq 1$ pour $n \geq 0$, la suite est croissante.
Exercice 13
Soit $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ مع $u_0 = 4$. نضع $v_n = u_n - 6$. بين أن $(v_n)$ هندسية.
$$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \frac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \frac{1}{2}u_n - 3 = \frac{1}{2}(u_n - 6) = \frac{1}{2}v_n$$
Raison $q = 1/2$.
Exercice 14
Exprimer $u_n$ بدلالة $n$ (تتمة التمرين السابق).
$v_n = v_0 \times (1/2)^n = (u_0-6) \times (1/2)^n = -2 \times (1/2)^n$.
$u_n = v_n + 6 = 6 - 2(1/2)^n$.
Exercice 015
Calculer la somme $\sum_{k=0}^{n} (2k+1)$.
C'est une suite arithmétique de raison 2.
$$S = \frac{n+1}{2}(1 + 2n+1) = (n+1)^2$$
Exercice 16
بين بالترجع أن $3^n \geq 1+2n$.
Initialisation : $3^0=1 \geq 1$.
Hérédité : $3^{n+1} = 3 \times 3^n \geq 3(1+2n) = 3+6n \geq 1+2(n+1)$.
Exercice 17
حدد رتابة المتتالية $u_n = \frac{3^n}{n+1}$.
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{n+2} \times \frac{n+1}{3^n} = \frac{3(n+1)}{n+2} > 1$$
La suite est croissante pour $n \geq 0$.
Exercice 18
Calculer $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}$.
$$S = 1 \times \frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2} = 2(1 - (1/2)^{n+1})$$
Exercice 19
Soit $(u_n)$ arithmétique tq $u_2=7$ و $u_5=16$. حدد الأساس $r$.
$u_5 - u_2 = (5-2)r \implies 9 = 3r \implies r=3$.
Exercice 20
Déterminer $v_n$ d'une suite géométrique avec $v_1=2$ و $q=5$.
$$v_n = v_1 \times q^{n-1} = 2 \times 5^{n-1}$$
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