Série de 20 Exercices - Trigonométrie 3AC

Série de 20 Exercices: Trigonométrie (3AC)

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$ et $AC = 4$. Calculer $BC$ puis $\sin(\hat{B})$.

1. D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $\mathbf{BC = 5}$.

2. $\sin(\hat{B}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{AC}{BC} = \mathbf{\frac{4}{5} = 0,8}$.

Exercice 2

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$ tel que $EF = 5$ et $FG = 13$. Calculer $\cos(\hat{F})$.

$\cos(\hat{F}) = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{EF}{FG} = \mathbf{\frac{5}{13} \approx 0,38}$.

Exercice 3

Dans un triangle $IJK$ rectangle en $I$, on a $IJ = 7$ et $IK = 24$. Calculer $\tan(\hat{J})$.

$\tan(\hat{J}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{IK}{IJ} = \mathbf{\frac{24}{7} \approx 3,42}$.

Exercice 4

Calculer la valeur de l'angle $\alpha$ sachant que $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

D'après le tableau des valeurs usuelles, l'angle dont le cosinus est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est $\mathbf{30^\circ}$.

Exercice 5

Soit $x$ un angle aigu tel que $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Calculer $\cos(x)$.

On utilise la relation : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.

$\cos^2(x) + (\frac{1}{2})^2 = 1 \Rightarrow \cos^2(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Donc $\cos(x) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Exercice 6

Calculer $\tan(x)$ sachant que $\sin(x) = 0,6$ et $\cos(x) = 0,8$.

On utilise la relation : $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

$\tan(x) = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \mathbf{0,75}$.

Exercice 7

Simplifier l'expression : $A = \cos^2(10^\circ) + \cos^2(80^\circ)$.

Comme $10^\circ + 80^\circ = 90^\circ$, alors $\cos(80^\circ) = \sin(10^\circ)$.

$A = \cos^2(10^\circ) + \sin^2(10^\circ) = \mathbf{1}$.

Exercice 8

Soit $\alpha$ un angle aigu. Simplifier : $B = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

$B = (\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

$B = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \mathbf{1}$.

Exercice 9

Un triangle $MNP$ est rectangle en $M$. Si $NP = 10$ et $\hat{N} = 30^\circ$, calculer $MP$.

$\sin(\hat{N}) = \frac{MP}{NP} \Rightarrow \sin(30^\circ) = \frac{MP}{10}$.

$0,5 = \frac{MP}{10} \Rightarrow MP = 10 \times 0,5 = \mathbf{5}$.

Exercice 10

Démontrer que : $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

$1 + \tan^2(x) = 1 + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$.

Comme $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, alors $1 + \tan^2(x) = \mathbf{\frac{1}{\cos^2(x)}}$.

Exercice 11

Calculer $C = \sin(25^\circ) - \cos(65^\circ) + \tan(45^\circ)$.

Comme $25 + 65 = 90$, alors $\sin(25^\circ) = \cos(65^\circ)$.

$C = \cos(65^\circ) - \cos(65^\circ) + 1 = \mathbf{1}$.

Exercice 12

Soit $x$ un angle aigu tel que $\tan(x) = 2$. Calculer $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Par définition, $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Donc $\mathbf{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2}$.

Exercice 13

Soit $ABC$ rectangle en $A$. Si $\cos(\hat{B}) = \frac{3}{5}$, calculer $\sin(\hat{B})$.

$\sin^2(\hat{B}) = 1 - \cos^2(\hat{B}) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

$\sin(\hat{B}) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$.

Exercice 14

Simplifier : $D = \sin(x) \times \cos(x) \times \tan(x) + \cos^2(x)$.

$D = \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \cos^2(x)$.

$D = \sin^2(x) + \cos^2(x) = \mathbf{1}$.

Exercice 15

Si $\tan(\alpha) = 1$, quelle est la mesure de $\alpha$ ?

Dans un triangle rectangle isocèle, l'angle est de $\mathbf{45^\circ}$, et sa tangente vaut 1.

Exercice 16

Calculer la hauteur d'un arbre qui projette une ombre de $10$ m quand l'angle d'élévation du soleil est $60^\circ$.

$\tan(60^\circ) = \frac{\text{Hauteur}}{\text{Ombre}} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{H}{10}$.

$H = 10\sqrt{3} \approx \mathbf{17,32 \text{ m}}$.

Exercice 17

Simplifier : $E = \cos(10^\circ) \cdot \sin(80^\circ) + \sin(10^\circ) \cdot \cos(80^\circ)$.

Comme $\sin(80^\circ) = \cos(10^\circ)$ et $\cos(80^\circ) = \sin(10^\circ)$ :

$E = \cos(10^\circ) \cdot \cos(10^\circ) + \sin(10^\circ) \cdot \sin(10^\circ) = \cos^2(10^\circ) + \sin^2(10^\circ) = \mathbf{1}$.

Exercice 18

Soit $x$ un angle aigu. Montrer que $(\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2\sin x \cos x$.

Développement : $\cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x$.

Comme $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on obtient $\mathbf{1 - 2\sin x \cos x}$.

Exercice 19

Calculer $\cos(x)$ si $\tan(x) = \frac{3}{4}$ (avec $x$ angle aigu).

On utilise $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$1 + (\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Donc $\cos^2 x = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos x = \mathbf{\frac{4}{5} = 0,8}$.

Exercice 20

Calculer $F = \frac{\sin^2(30^\circ) + \sin^2(60^\circ)}{\tan(45^\circ)}$.

$\sin^2(30^\circ) + \sin^2(60^\circ) = \sin^2(30^\circ) + \cos^2(30^\circ) = 1$.

$\tan(45^\circ) = 1$.

$F = \frac{1}{1} = \mathbf{1}$.

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