20 Exercices sur les constructions et propriétés de conservation
Niveau 1 : Points et Segments
1. Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à une droite $(D)$, que représente $(D)$ pour le segment $[AA']$ ?
Définition :
Par définition, si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(D)$, alors la droite $(D)$ est la médiatrice du segment $[AA']$.
Résultat : $(D)$ est la médiatrice de $[AA']$.
2. Un point $M$ appartient à l'axe de symétrie $(L)$. Quel est son symétrique par rapport à $(L)$ ?
Propriété :
Tout point situé sur l'axe de symétrie est son propre symétrique (on dit qu'il est invariant).
Résultat : Le symétrique de $M$ est $M$ lui-même.
3. Soit $[AB]$ un segment de longueur $6$ cm. Quelle est la longueur de son symétrique $[A'B']$ ?
Conservation :
La symétrie axiale conserve les distances. Si $AB = 6$ cm, alors son image $A'B'$ aura la même mesure.
Résultat : $A'B' = 6$ cm.
4. Si $M$ est le milieu de $[EF]$, et $M'$ est le symétrique de $M$. Que représente $M'$ pour $[E'F']$ ?
Conservation :
La symétrie axiale conserve le milieu d'un segment.
Résultat : $M'$ est le milieu du segment $[E'F']$.
5. La distance entre un point $P$ et l'axe $(D)$ est de $3$ cm. Quelle est la distance entre $P$ et son symétrique $P'$ ?
Calcul :
L'axe $(D)$ coupe $[PP']$ en son milieu. Donc la distance $PP'$ est le double de la distance entre $P$ et l'axe.
$PP' = 3 \text{ cm} \times 2 = 6 \text{ cm}$.
Résultat : $PP' = 6$ cm.
Niveau 2 : Droites et Angles
6. Quel est le symétrique d'une droite $(\Delta)$ par rapport à un axe $(D)$ si $(\Delta)$ est parallèle à $(D)$ ?
Propriété :
Si une droite est parallèle à l'axe, son symétrique est une droite qui lui est aussi parallèle.
Résultat : Une droite $(\Delta')$ parallèle à $(\Delta)$ et à $(D)$.
7. Un angle $\widehat{ABC}$ mesure $55^\circ$. Quelle est la mesure de son symétrique $\widehat{A'B'C'}$ ?
Conservation :
La symétrie axiale conserve la mesure des angles.
Résultat : $\widehat{A'B'C'} = 55^\circ$.
8. Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont perpendiculaires, que peut-on dire de leurs symétriques $(d'_1)$ et $(d'_2)$ ?
Propriété :
La symétrie axiale conserve l'orthogonalité (perpendicularité).
Résultat : $(d'_1)$ et $(d'_2)$ sont perpendiculaires.
9. Trois points $A, B$ et $C$ sont alignés. Leurs symétriques $A', B'$ et $C'$ le sont-ils ?
Conservation :
La symétrie axiale conserve l'alignement.
Résultat : Oui, $A', B'$ et $C'$ sont alignés.
10. Quel est le symétrique d'une demi-droite $[Ox)$ ?
Propriété :
Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite.
Résultat : Une demi-droite $[O'x')$.
Niveau 3 : Figures Géométriques
11. Quel est le symétrique d'un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm ?
Propriété :
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
Résultat : Un cercle de centre $O'$ (symétrique de $O$) et de rayon $4$ cm.
12. Un triangle $ABC$ a une aire de $12 \text{ cm}^2$. Quelle est l'aire de son symétrique $A'B'C'$ ?
Conservation :
La symétrie axiale conserve les aires (surfaces).
Résultat : L'aire de $A'B'C'$ est de $12 \text{ cm}^2$.
13. Si $ABC$ est un triangle isocèle en $A$, quelle est la nature de son symétrique $A'B'C'$ ?
Propriété :
Puisque la symétrie conserve les longueurs, $AB = AC \implies A'B' = A'C'$.
Résultat : $A'B'C'$ est un triangle isocèle en $A'$.
14. Combien d'axes de symétrie possède un rectangle (non carré) ?
Analyse :
Un rectangle possède deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. (Attention : les diagonales ne sont pas des axes pour un rectangle).
Résultat : 2 axes.
15. Combien d'axes de symétrie possède un triangle équilatéral ?
Analyse :
Ce sont les trois médiatrices de ses côtés (qui sont aussi ses hauteurs et bissectrices).
Résultat : 3 axes.
Niveau 4 : Propriétés Avancées
16. Si le périmètre d'un carré est $20$ cm, quel est le périmètre de son symétrique ?
Conservation :
La symétrie conserve les longueurs, donc la somme des côtés (périmètre) reste identique.
Résultat : $20$ cm.
17. Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Que peut-on dire de son symétrique $A'B'C'$ ?
Conservation :
La symétrie conserve la mesure des angles ($90^\circ$).
Résultat : $A'B'C'$ est un triangle rectangle en $B'$.
18. Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ passant par $A$. $O'$ et $A'$ sont les symétriques de $O$ et $A$. Le cercle $(C')$ de centre $O'$ passe-t-il par $A'$ ?
Démonstration :
On sait que $OA$ est le rayon. Puisque la symétrie conserve les distances, $OA = O'A'$. Donc $A'$ appartient au cercle de centre $O'$.
Résultat : Oui.
19. Si une figure est symétrique par rapport à une droite $(D)$, on dit que $(D)$ est ... ?
Définition :
Si une figure se superpose à elle-même par symétrie axiale, la droite est appelée axe de symétrie.
Résultat : Un axe de symétrie de la figure.
20. Quel est l'axe de symétrie d'un segment $[AB]$ ?
Analyse :
Un segment possède deux axes : sa médiatrice et la droite $(AB)$ elle-même.
Résultat : Sa médiatrice et son support.