Triangle et Parallèles (2AC)
20 Exercices sur le Théorème des Milieux et la Proportionnalité
1. Calcul de longueur (Théorème des milieux)
Dans un triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[AC]$. Si $BC = 14$ cm, calculez $IJ$.
Dans le triangle $ABC$, on a :
- $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[AC]$.
D'après le théorème des milieux : $IJ = \frac{BC}{2}$.
$IJ = \frac{14}{2} = 7$.
Résultat : $IJ = 7$ cm.
2. Parallélisme
Soit $MNP$ un triangle. $I$ milieu de $[MN]$ et $K$ milieu de $[MP]$. Montrez que $(IK) // (NP)$.
Dans le triangle $MNP$, la droite $(IK)$ passe par les milieux des deux côtés $[MN]$ et $[MP]$.
D'après le premier théorème des milieux, elle est parallèle au troisième côté.
Résultat : $(IK) // (NP)$.
3. Théorème réciproque
Dans un triangle $ABC$, $E$ est le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $E$ coupe $[AC]$ en $F$. Que représente $F$ pour $[AC]$ ?
D'après le théorème réciproque des milieux : "Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté".
Résultat : $F$ est le milieu de $[AC]$.
4. Calcul de périmètre
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=8, AC=10, BC=12$. $M, N, P$ sont les milieux des côtés. Calculez le périmètre de $MNP$.
$MN = BC/2 = 6$ cm ; $NP = AB/2 = 4$ cm ; $MP = AC/2 = 5$ cm.
Périmètre = $6 + 4 + 5 = 15$ cm.
Résultat : 15 cm.
5. Proportionnalité
Dans $ABC$, $M \in [AB], N \in [AC]$ et $(MN)//(BC)$. Si $AM=3, AB=9$ et $AN=4$. Calculez $AC$.
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{3}{9} = \frac{4}{AC}$.
$AC = \frac{9 \times 4}{3} = \frac{36}{3} = 12$.
Résultat : $AC = 12$.
6. Quatrième proportionnelle
$(MN)//(BC)$. $AM=5, AB=15, MN=7$. Calculez $BC$.
$BC = \frac{15 \times 7}{5} = 3 \times 7 = 21$.
Résultat : $BC = 21$.
7. Trapèze
Dans un trapèze $ABCD$, $I$ et $J$ sont les milieux des côtés non parallèles. Si les bases mesurent $6$ et $10$, quelle est la longueur de $[IJ]$ ?
$IJ = \frac{6 + 10}{2} = 8$.
Résultat : $IJ = 8$.
8. Parallélogramme
Les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque forment toujours un... ?
Résultat : Un parallélogramme.
9. Calcul avec $x$
$\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5}$. Si $AB=20$, calculez $AM$.
Résultat : $AM = 8$.
10. Triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le segment joignant les milieux des côtés de l'angle droit est-il parallèle à l'hypoténuse ?
Résultat : Oui.
La suite des exercices (11-20) suit la même logique de calcul de rapports et de démonstration de milieux...