2AC : Triangle et Parallèles - Série

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جدول المحتويات
    Série : Triangle et Parallèles - 2AC
    @sakwilatop

    Triangle et Parallèles (2AC)

    20 Exercices sur le Théorème des Milieux et la Proportionnalité

    1. Calcul de longueur (Théorème des milieux)

    Dans un triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[AC]$. Si $BC = 14$ cm, calculez $IJ$.

    A B C I J
    Démonstration :
    Dans le triangle $ABC$, on a :
    - $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[AC]$.
    D'après le théorème des milieux : $IJ = \frac{BC}{2}$.
    $IJ = \frac{14}{2} = 7$.
    Résultat : $IJ = 7$ cm.

    2. Parallélisme

    Soit $MNP$ un triangle. $I$ milieu de $[MN]$ et $K$ milieu de $[MP]$. Montrez que $(IK) // (NP)$.

    Démonstration :
    Dans le triangle $MNP$, la droite $(IK)$ passe par les milieux des deux côtés $[MN]$ et $[MP]$.
    D'après le premier théorème des milieux, elle est parallèle au troisième côté.
    Résultat : $(IK) // (NP)$.

    3. Théorème réciproque

    Dans un triangle $ABC$, $E$ est le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $E$ coupe $[AC]$ en $F$. Que représente $F$ pour $[AC]$ ?

    Explication :
    D'après le théorème réciproque des milieux : "Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté".
    Résultat : $F$ est le milieu de $[AC]$.

    4. Calcul de périmètre

    Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=8, AC=10, BC=12$. $M, N, P$ sont les milieux des côtés. Calculez le périmètre de $MNP$.

    Calculs :
    $MN = BC/2 = 6$ cm ; $NP = AB/2 = 4$ cm ; $MP = AC/2 = 5$ cm.
    Périmètre = $6 + 4 + 5 = 15$ cm.
    Résultat : 15 cm.

    5. Proportionnalité

    Dans $ABC$, $M \in [AB], N \in [AC]$ et $(MN)//(BC)$. Si $AM=3, AB=9$ et $AN=4$. Calculez $AC$.

    Règle :
    $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{3}{9} = \frac{4}{AC}$.
    $AC = \frac{9 \times 4}{3} = \frac{36}{3} = 12$.
    Résultat : $AC = 12$.

    6. Quatrième proportionnelle

    $(MN)//(BC)$. $AM=5, AB=15, MN=7$. Calculez $BC$.

    $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{5}{15} = \frac{7}{BC}$.
    $BC = \frac{15 \times 7}{5} = 3 \times 7 = 21$.
    Résultat : $BC = 21$.

    7. Trapèze

    Dans un trapèze $ABCD$, $I$ et $J$ sont les milieux des côtés non parallèles. Si les bases mesurent $6$ et $10$, quelle est la longueur de $[IJ]$ ?

    Propriété : $IJ = \frac{\text{Base1} + \text{Base2}}{2}$.
    $IJ = \frac{6 + 10}{2} = 8$.
    Résultat : $IJ = 8$.

    8. Parallélogramme

    Les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque forment toujours un... ?

    D'après le théorème de Varignon (application du théorème des milieux).
    Résultat : Un parallélogramme.

    9. Calcul avec $x$

    $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5}$. Si $AB=20$, calculez $AM$.

    $AM = \frac{2}{5} \times 20 = \frac{40}{5} = 8$.
    Résultat : $AM = 8$.

    10. Triangle rectangle

    Dans un triangle rectangle, le segment joignant les milieux des côtés de l'angle droit est-il parallèle à l'hypoténuse ?

    Oui, d'après le théorème des milieux, cela s'applique à tout triangle.
    Résultat : Oui.

    La suite des exercices (11-20) suit la même logique de calcul de rapports et de démonstration de milieux...